留数定理及其应用

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1、第五章留数定理及其应用¤目录x1留数定理2一留数的定义.....................................2二Cauchy留数定理.................................2x2留数的算法3x3用留数定理计算围线积分4x4*无穷远点的留数5R2¼x5实积分R(cosµ;sinµ)dµ60R+1x6实积分f(x)dx8¡1R+1imxx7积分f(x)edx10¡1x8*特殊积分12x9*多值函数的积分12¤°c1992{2003林琼桂本讲义是中山大学物理系学生学习“数学物理方法”课程的参考资料，由林琼桂编写制作．欢迎任何

2、个人复制用于学习或教学参考，欢迎批评指正，但请勿用于出售．1x1留数定理2x1留数定理一留数的定义如果函数f(z)在点a的邻域K：jz¡aj

3、残数（residue），记作Resf(z)，或简记为Resf(a)，或Res(f;a)．z=a显然，只要0<½

4、留数定理设函数f(z)在围线或复围线C所围成的区域D中有孤立奇点a1、a2、:::、an，此外f(z)在D¹上解析，则有ZXnf(z)dz=2¼iResf(ak):(3)Ck=1x2留数的算法3Dana1a2图1:区域D的边界为复围线C，其中有n个孤立奇点证明作n个小圆周¡k：jz¡akj=½k（k=1;2;:::;n），使各¡k及其内部全含于D，但各¡k互不相交也互不包含，如图1．根据Cauchy积分定理和留数的定义，有ZXnZXnXnf(z)dz=f(z)dz=2¼iResf(ak)=2¼iResf(ak):Ck=1¡kk=1k=1证毕．利用Cauchy留数定

5、理，只要算出各孤立奇点处的留数，即可得出围线积分，所以关键在于计算留数．x2留数的算法计算留数的最一般方法是作Laurent展开，求出系数c¡1，即得展开中心的留数．但作Laurent展开往往太麻烦，所以我们希望有一些现成的公式可以用以计算留数．下面的方法适用于计算极点的留数．定理（极点的留数）设a是f(z)的n阶极点，则½¾¯1dn¡1¯Resf(a)=[(z¡a)nf(z)]¯:(4)(n¡1)!dzn¡1¯z=a证明由于a是f(z)的n阶极点，故在a的某去心邻域内有'(z)f(z)=;(z¡a)n其中'(z)在a点解析，且'(a)6=0．于是ZZ11'(z)

6、1(n¡1)Resf(a)=f(z)dz=dz='(a);2¼i¡2¼i(z¡a)n(n¡1)!½¡½最后一个等号用了高阶导数公式．由于'(z)=(z¡a)nf(z)，代入上式即得式(4)．证毕．由这一定理，马上可以得到下面两个推论，它们是常用的计算公式．x3用留数定理计算围线积分4推论一（单极点的留数，第一公式）若a是f(z)的单极点，则Resf(a)=[(z¡a)f(z)]jz=a:(5)推论二（二阶极点的留数）若a是f(z)的二阶极点，则20Resf(a)=[(z¡a)f(z)]jz=a:(6)单极点的留数还有另一个计算公式，通常它比式(5)更方便，我们也把

7、它写成定理的形式．定理（单极点的留数，第二公式）设a是f(z)='(z)=Ã(z)的单极点，即'(z)和Ã(z)均在a点解析，且'(a)6=0，Ã(a)=0，Ã0(a)6=0，则'(a)Resf(a)=:(7)Ã0(a)证明按式(5)，并利用Ã(a)=0等条件，有·¸·¸'(z)'(z)Resf(a)=lim[(z¡a)f(z)]=lim(z¡a)=lim(z¡a)z!az!aÃ(z)z!aÃ(z)¡Ã(a)'(z)'(a)=lim=:z!a[Ã(z)¡Ã(a)]=(z¡a)Ã0(a)证毕．以上公式(5{7)就是计算极点留数的常用公式．当极点的阶数较高时，用公式(

8、4)计算留