因式分解的应用与探究(含答案)-

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1、因式分解的应用与探究【温馨提示】《分解因式》一章中，我们主要学习了分解因式的概念、会用两种方法分解因式，即提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。具体要求有：1、经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体（整式乘法与因式分解）联系。2、了解因式分解的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。3、通过乘法公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2，（a±b）2＝a2±2ab＋b2的逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理思考及语言表达能力。

2、在中考中，除了考查对一个整式进行分解因式等常规题型外，因式分解作为一种重要的解题方法和工具，经常出现于各种题型中，以下几种就值得引起注意。★范例精讲例1【构造求值型】【山西04】已知x＋y＝1，那么的值为；分析：通过已知条件，不能分别求出x、y的值，所以要考虑把所求式进行变形，构造出x＋y的整体形式，即＝（x2＋2xy＋y2）＝（x＋y）2＝.在此过程中，我们先提取公因式，再用完全平方公式对原式进行因式分解，产生x＋y的整体形式，最后将x＋y＝1代入求出最终结果.例2【构造求值型】已知x2＋2x＋y2＋6y＋10＝0，求xy的值．答：xy＝3例3【构造求值型】已知：a

3、＝10000，b＝9999，求a2＋b2－2ab－6a＋6b＋9的值。解：a2＋b2－2ab－6a＋6b＋9＝（a－b）2－2×（a－b）×3＋32＝（a－b－3）2＝4例4【构造求值型】【广西桂林04】计算：；-11-分析：为了便于观察，我们将原式“倒过来”，即原式＝＝＝＝＝＝……＝22＋2＝4＋2＝6此题的解题过程中，巧妙地用到了提公因式法进行分解因式，使结构特点明朗化，规律凸现出来。此题解法很多，比如，我们还可以采用整体思想，把原式看作一个整体，利用方程与提公因式法分解因式相结合的方法解答此题。设M＝，则－M＝，即，解得M＝6.例5【探索规律型】观察下列各式：1

4、2＋（1×2）2＋22＝9＝32，22＋（2×3）2＋32＝49＝72，32＋（3×4）2＋42＝169＝132，……你发现了什么规律？请用含有n（n为正整数）的等式表示出来，并说明其中的道理。例6【探索规律型】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＝（1＋x）［1＋x＋x（1＋x）］＝（1＋x）2（1＋x）＝（1＋x）3-11-⑴上述分解因式的方法是，共应用了次；⑵若分解1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＋…＋x（1＋x）2004，则需应用上述方法次，结果是；⑶分解因式：1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＋…＋x（1＋x

5、）n（n为正整数）.例7【开放创新型】【四川03】多项式9x2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是（填上一个你认为正确的即可）；分析：根据完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2的特点，若9x2＋1表示了a2＋b2的话，则有a＝3x，b＝1，所以，缺少的一项为±2ab＝±2·3x·1＝±6x，此时，9x2＋1±6x＝（3x±1）2；如果认为9x2＋1表示了2ab＋b2的话，则有a＝4.5x2，b＝1，所以，缺少的一项为a2＝（4.5x）2＝20.25x4，此时，20.25x4＋9x2＋1＝（4.5x2＋1）2.从另外一个角度考

6、虑，“一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式.注意到9x2＝（3x）2，1＝12，所以，保留二项式9x2＋1中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可以是－1或者－9x2，此时有9x2＋1－1＝9x2＝（3x）2，或者9x2＋1－9x2＝12.综上分析，可知所加上的单项式可以是±6x、20.25x4、－1或者－9x2.例8【开放创新型】【福建南平03】请你写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式来分解.分析：利用整式乘法与因式分解的互逆关系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式，写出一个等式，在它的两边都乘一个

7、因式，比如：2m（m＋n）2＝2m（m2＋2mn＋n2）＝2m3＋4m2n＋2mn2；3a（2x－5y）2＝3a（4x2－20xy＋25y2）＝12ax2－60axy＋75ay2，等等.于是编写的三项式可以是2m3＋4m2n＋2mn2，分解因式的结果是2m（m＋n）2；或者编写的三项式可以是12ax2－60axy＋75ay2，分解因式的结果是3a（2x－5y）2，等等.abab例9【数形结合型】【陕西02，桥西02～03】如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b-11-的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的