2002年全国高中数学联赛试题及解答

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1、2002年全国高中数学联赛冯惠愚二零零二年全国高中数学联赛试卷一试题(2002年10月13日上午8：00—9：40)一．选择题(本小题满分36分，每小题6分)：1．函数f(x)=log(x2－2x－3)的单调递增区间是A．(－∞，－1)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(3，＋∞)2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2=142，则x2＋y2的最小值为A．2B．1C．D．3．函数f(x)=－A．是偶函数但不是奇函数B．是奇函数但不是偶函数C．既是奇函数也是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数4．直线+=1与椭圆+=1相交于A、B两

2、点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3．这样的点P共有A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知两个实数集合A={a1，a2，a3，…，a100}，与B={b1，b2，…，b50}，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，则这样的映射共有A．CB．CC．CD．C6．由曲线x2=4y，x2=－4y，x=4，x=－4围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2＋y2≤16，x2＋(y－2)2≥4，x2＋(y＋2)2≥4的点绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，则A．V1=V2B

3、．V1=V2C．V1=V2D．V1=2V2二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．已知复数Z1、Z2满足

4、Z1

5、=2，

6、Z2

7、=3，若它们所对应的向量的夹角为60°，则=；8．将二项式的展开式按x-9-2002年全国高中数学联赛冯惠愚的降幂排列，若前三项的系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个；9．如图，点P1、P2、…，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P1，Pi，Pj，Pk)(1

8、x)＋5，f(x＋1)≥f(x)＋1,.若g(x)=f(x)＋1－x，则g(2002)=；11．若log4(x＋2y)＋log4(x－2y)=1，则

9、x

10、－

11、y

12、的最小值是；12．使不等式sin2x＋acosx＋a2≥1＋cosx对于一切xÎR恒成立的负数a的取值范围是；三．解答题(本题满分60分，每小题20分)：13．已知点A(0，2)和抛物线y2=x＋4上两点B，C，使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围．14．如图，有一列曲线P0，P1，P2，…，已知P0是面积为1的等边三角形，Pk＋1是对Pk进行如下操作得到的：将Pk的每条边三

13、等分，以每边中间部分的线段为边向形外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0，1，2，…)．记Sn为曲线Pn所围成图形的面积．⑴求数列{Sn}的通项公式；⑵求Sn．15．设二次函数f(x)=ax2＋bx＋c(a，b，cÎR，a≠0)满足条件：⑴当xÎR时，f(x－4)=f(2－x)，且f(x)≥x；⑵当xÎ(0，2)时，f(x)≤；⑶f(x)在R上的最小值为0．求最大的m(m>1)，使得存在tÎR，只要xÎ[1，m]，就有f(x＋t)≤x．-9-2002年全国高中数学联赛冯惠愚二试题(本卷共三个大题，共150分，每题50分)一．在ΔA

14、BC中，∠BAC=60°，AB>AC，点O为ΔABC的外心，两条高BE、CF的交于点H，点M、N分别在线段BH与HF上，且满足BM=CN．求的值．二．实数a，b，c和正数λ使得f(x)=x3＋ax2＋bx＋c有三个实根x1，x2，x3，且满足⑴x2－x1=λ；⑵x3>(x1＋x2)．求的最大值．三．在世界杯足球赛前，F国的教练员为了考察A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且A1、A2、A3、A4每人上场的总时间(以分

15、钟为单位)均被7整除，A5、A6、A7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除．如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？-9-2002年全国高中数学联赛冯惠愚2002年全国高中数学联赛解答一试题(2002年10月13日上午8：00—9：40)一．选择题(本小题满分36分，每小题6分)：1．函数f(x)=log(x2－2x－3)的单调递增区间是A．(－∞，－1)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(3，＋∞)解：由x2－2x－3>0，得x<－1或x>3．在x∈(－∞，－1)时，u=x2－2x－3单调

16、减，f(x)单调增；在x∈(3，+∞)时，u=x2－2x－3单调增，f(x)单调减．故选A2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2=142，则x2＋y2的最小值为A．2B．1C．D．解