1981年全国高中数学联赛试题及解答

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1、1981年二十五省、市、自治区中学生联合数学竞赛1．选择题(本题满分35分，每题答对者得5分，答错者得－2分，不答者得0分)⑴条件甲：两个三角形的面积和两条边对应相等．条件乙：两个三角形全等．A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件⑵条件甲：=a．条件乙：sin+cos=a．A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件⑶设α≠(k≠0，±1，±2，……)，T=．A．T取负值B．T取非负值C．T取正值D．T取值可正可负⑷下面四个图形中，哪一个面积大？A．△ABC：∠A=

2、60°，∠B=45°，AC=B．梯形：两条对角线的长度分别为和，夹角为75°C．圆：半径为1D．正方形：对角线长度为2.5⑸给出长方体ABCD—A¢B¢C¢D¢，下列12条直线：AB¢，BA¢，CD¢，DC¢，AD¢，DA¢，BC¢，CB¢，AC，BD，A¢C¢，B¢D¢中有多少对异面直线？A．30对B．60对C．24对D．48对⑹在坐标平面上有两个区域M和N，M是由y≥0，y≤x和y≤2-x 这三个不等式确定，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1确定，t的取值范围是0≤t≤1 ，设M和N的公共面积是函数f(t)，则f(t)为A．－t2+t+B．－2t2+2tC.1－t2D.(t－2)

3、2⑺对方程x

4、x

5、+px+q=0进行讨论，下面结论中，哪一个是错误的？A．至多有三个实根B．至少有一个实根C．仅当p2－4q≥0时才有实根D．当p<0和q>0时，有三个实根2．(本题15分)下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正：x0.0210.271.52.835lgx2a+b+c－36a－3b－23a－b+c1－2a+2b－c2a－ba+cx678914lgx1+a－b－c2(a+c)3－3a－3c4a－2b1－a+2b3．(本题15分)在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45°角，若CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径为1，求证：PC∙QE+PD∙QF<2．4．(本

6、题15分)组装甲、乙、丙三种产品，需用A、B、C三种零件．每件甲需用A、B各2个；每件乙需用B、C各1个；每件丙需用2个A与1个C．用库存的A、B、C三种零件，如组装成p件甲产品、q件乙产品和r件丙产品，则剩下2个A和1个B，但C恰好用完．试证：无论怎样改变甲、乙、两产品的件数，也不能把库存的A、B、C三种零件都恰好用完．5．(本题20分)一张台球桌形状是正六边形ABCDEF，一个球从AB的中点P击出，击中BC边上的某点Q，并且依次碰击CD、DE、EF、FA各边，最后击中AB边上的某一点．设∠BPQ=θ，求θ的范围．提示：利用入射角等于反射角的原理．1981年二十五省、市、自治区中学生联合数学

7、竞赛解答1．选择题(本题满分35分，每题答对者得5分，答错者得－2分，不答者得0分)⑴条件甲：两个三角形的面积和两条边对应相等．条件乙：两个三角形全等．A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件解：乙Þ甲，但甲Þ乙，故选B.⑵条件甲：=a．条件乙：sin+cos=a．A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件解：由=aÞ

8、sin+cos

9、=a；而sin+cos=a,Þ=

10、a

11、．故选D．⑶设α≠(k≠0，±1，±2，……)，T=．A．T取负值B．T取非负值C．T取正值D

12、．T取值可正可负解：T=>0，选C．⑷下面四个图形中，哪一个面积大？A．△ABC：∠A=60°，∠B=45°，AC=B．梯形：两条对角线的长度分别为和，夹角为75°C．圆：半径为1D．正方形：对角线长度为2.5解：A中三角形面积=(3+)；B中梯形面积=(3+)；C中圆面积=π，D中正方形面积=·()2=．于是B=A

13、12÷2=30对．选A．⑹在坐标平面上有两个区域M和N，M是由y≥0，y≤x和y≤2-x 这三个不等式确定，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1确定，t的取值范围是0≤t≤1 ，设M和N的公共面积是函数f(t)，则f(t)为A．－t2+t+B．－2t2+2tC.1－t2D.(t－2)2解：⊿OAB的面积=1。直角边长为t的等腰直角三角形面积=t2.直角边长为2－(1+t)=1－t的等腰直角