2006年全国高中数学联赛试题及解答

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1、2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次.一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知△ABC，若对任意t∈R，≥，则△ABC一定为A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．答案不

2、确定答C．解：令∠ABC＝α，过A作AD⊥BC于D，由≥，推出　－2t·＋t2≥,令t＝，代入上式，得－2cos2α＋cos2α≥，即sin2α≥,也即sinα≥．从而有≥．由此可得∠ACB＝．2．设logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，则x的取值范围为A．＜x＜1B．x＞且x≠1C．x＞1　D．0＜x＜1答B．解：因为，解得x＞且x≠1．由logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，Þlogx(2x3＋x2－x)＞logx2Þ或．解得0＜x＜1或x＞1．所以x的取值范围为x＞且x≠1．3．已知

3、集合A＝{x

4、5x－a≤0}，B＝{x

5、6x－b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N＝{2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为A．20B．25C．30D．42答C．解：5x－a≤0Þx≤；6x－b＞0Þx＞．要使A∩B∩N＝{2，3，4}，则good,noloosening.6.5.2DCSsidewiringtocompletetheenclosureandtheothersideafterthewiringiscompleted,DCSwithintheenclosurewhenthepowermo

6、duleshouldbeloosenedorthepowergoesout.6.6lowvoltagecableterminalmaking6.6.1first-13-，即所以数对(a，b)共有CC＝30个．4．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为A．[，1)B．[，2)C．[1，)D．[，)答A．解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB

7、为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1，0，0)(0＜t1＜1)，E(0，1，)，G(，0，1)，D(0，t2，0)(0＜t2＜1)．所以＝(t1，－1，－)，＝(－，t2，－1)．因为GD⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜．又＝(t1，－t2，0)，＝＝＝，从而有≤＜1．5．设f(x)＝x3＋log2(x＋)，则对任意实数a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答A．解：显然f(x)＝x3＋log

8、2(x＋)为奇函数，且单调递增．于是若a＋b≥0，则a≥－b，有f(a)≥f(－b)，即f(a)≥－f(b)，从而有f(a)＋f(b)≥0．反之，若f(a)＋f(b)≥0，则f(a)≥－f(b)＝f(－b),推出a≥－b，即a＋b≥0．6．数码a1，a2，a3，…，a2006中有奇数个9的2007位十进制数的个数为A．(102006＋82006)B．(102006－82006)C．102006＋82006D．102006－82006答B．解：出现奇数个9的十进制数个数有A＝C92005＋C92003＋

9、…＋C9．又由于(9＋1)2006＝C92006－k以及(9－1)2006＝C(－1)k92006－k从而得A＝C92005＋C92003＋…＋C9＝(102006－82006)．二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.设f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x，则f(x)的值域是．good,noloosening.6.5.2DCSsidewiringtocompletetheenclosureandtheothersideafterthewiringiscompleted,DCSwit

10、hintheenclosurewhenthepowermoduleshouldbeloosenedorthepowergoesout.6.6lowvoltagecableterminalmaking6.6.1first-13-填[0，]．解：f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x＝1－sin2x－sin22x．令t＝sin2x，则f(x)＝g(t)＝1－t－t2＝－(t＋)2．因此g(t)＝g(1)＝0，g(t)＝g(－)＝．故，f(x)∈[