全国高中数学联赛试题及解答

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1、1986年全国高中数学联赛冯惠愚1986年全国高中数学联赛试题第一试1．选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分)⑴设－1

2、2nπ+θ

3、2nπ－θ

4、(2n－1)π+θ

5、2nπ+θ

6、(z－1)2=

7、z－1

8、2}，那么()A．M={纯

9、虚数}B．M={实数}C．{实数}M{复数}D．M={复数}⑶设实数a、b、c满足那么，a的取值范围是()A．(－∞，+∞)B．(－∞，1]∪[9，+∞)C．(0，7)D．[1，9]⑷如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为()A．3B．4C．5D．6⑸平面上有一个点集和七个不同的圆C1，C2，…，C7，其中圆C7恰好经过M中的7个点，圆C6恰好经过M中的6个点，…，圆C1恰好经过M中的1个点，那么M中的点数最少为()A．11B．12C．21D．28⑹边长为a、b、c的三角形，

10、其面积等于，而外接圆半径为1，若s=++，t=++，则s与t的大小关系是A．s>tB．s=tC．s

11、1－2x

12、，x∈[0，1]，那么方程f(f(f(x)))=x的解的个数是．-8-1986年全国高中

13、数学联赛冯惠愚⑶设f(x)=，那么和式f()+f()+f()+…+f()的值等于；⑷设x、y、z为非负实数，且满足方程4－68´2+256=0，那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于．-8-1986年全国高中数学联赛冯惠愚第二试1．(本题满分17分)已知实数列a0，a1，a2，…，满足ai－1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，…)求证：对于任何自然数n，P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+…+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn是一次多项式．(本题

14、应增加条件：a0≠a1)2．(本题满分17分)已知锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是⊿ABC的三条高的充要条件是S=(EF+FD+DE）．式中S是三角形ABC的面积．-8-1986年全国高中数学联赛冯惠愚3．平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得⑴每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上；⑵对任意白色A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点D，

15、使得ABCD为一平行四边形．证明你设计的方法符合上述要求．-8-1986年全国高中数学联赛冯惠愚1986年全国高中数学联赛解答第一试1．选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分)⑴设－1

16、2nπ+θ

17、2nπ－θ

18、(2n－1)π+θ

19、(2n－1)π－θ

20、<0，在(－π，0)内满足sinx

21、(z－1)2=

22、z－1

23、2}，那么()A．M={纯虚数}B．M={实数}C．{实数}M{复数}D．M={复数}解：即(z－1)2－(z－1)(－1)=0，Þ(z－1)(z－)=0，Þz=1或z=，总之，z为实数．选B⑶设实数a、b、c满足那么，a的取值范围是()A．(－∞，+∞)B．(－∞，1]∪[9，+∞)C．(0，7)D．[1，9]解：①×3+②：b2+c2－2bc+3a2－30a+27=0，Þ(

24、b－c)2+3(a－1)(a－9)=0，Þ1≤a≤9．选D．b2+c2+2bc－a2+2a－1=0，(b+c)2=(a－1)2，Þb+c=a－1，或b+c=－a+1．⑷如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为()A．3B．4C．5D．6解：取等腰四面体，其棱长至多2种长度．棱长少于3时，必出现等腰三角形．选A．⑸平面上有一个点集和七个不同的圆C1，C2，…，C7，其中圆C7恰好经过M中的7个点，圆C