2014难点复习-10《圆锥曲线的综合问题》

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1、1.已知λ∈R，则不论λ取何值，曲线C：λx2－x－λy＋1＝0恒过定点(D)A．(0,1)B．(－1,1)C．(1,0)D．(1,1)[来源:学科网ZXXK]解析：由λx2－x－λy＋1＝0，得λ(x2－y)－(x－1)＝0.[来源:学

2、科

3、网Z

4、X

5、X

6、K]依题设，即，可知不论λ取何值，曲线C过定点(1,1)．　2.若点A的坐标为(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使

7、PA

8、＋

9、PF

10、取最小值，P点的坐标为(B)A．(3,3)B．(2,2)C．(，1)D．(0,0)解析：如图，根据抛物线的定义可知

11、PF

12、等于点P到准线l的距离

13、P

14、Q

15、.则当A、P′、Q′三点共线时

16、PA

17、＋

18、PF

19、最小，此时，可求得P′(2,2)．　3.过双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M、N两点，则·为定值(D)A．a2b2B．2abC．a2D．－a2解析：设P(x，y)，则M(y，y)，N(－y，y)，于是·＝(y－x,0)·(－y－x,0)＝(y－x)(－y－x)＝(b2x2－a2y2)＝＝a2，所以·＝－·＝－a2，故选D.　4.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则·的最小值为(A)A.B．3C．8D．15解析：设P(x，y)，由题意得

20、F(－2,0)，所以·＝(x＋2，y)·(x，y)＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋5＝(x＋)2＋(－3

21、PQ

22、＝，

23、PR

24、＝，所以S△POQ＝

25、PQ

26、

27、PR

28、＝＝1.　6.椭圆＋＝1和圆x2＋y2－4x＋3＝0上最近两点之间的距离为　2　，最远两点间的距离为　8　.解析：由题设知圆的圆心为(2,

29、0)，半径为1，本题可转化为求椭圆上的点P(x0，y0)到定点A(2,0)的最近、最远距离；易求得

30、PA

31、min＝3，

32、PA

33、max＝7，从而知所求的最近距离为2，最远距离为8.　7.(2012·柳州市第一次模拟)如图，正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为椭圆的两个焦点，其余4个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率是　－1　.[来源:学科网]解析：设正六边形的边长为2c，则焦距为2c，连接EA，AD，则在三角形EAD中，

34、EA

35、＋

36、ED

37、＝2a，DE⊥AE，所以DE2＋AE2＝AD2，DE＝AD，解得AE＝c，所以c＋c＝2a，所以e＝－1.　8.若椭圆＋＝1(a

38、>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，且·＝0(O为坐标原点)．(1)求证：＋等于定值；(2)若椭圆离心率e∈[，]时，求椭圆长轴长的取值范围．解析：(1)证明：由⇒(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.①由Δ＞0⇒a2b2(a2＋b2－1)＞0，因为a＞b＞0，所以a2＋b2＞1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是①的两根，[来源:学_科_网Z_X_X_K]所以x1＋x2＝，x1x2＝.②由·＝0得，x1x2＋y1y2＝0，即2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，③将②代入③得，a2＋b2＝2a2b2，所以＋＝2，为定

39、值．(2)由(1)a2＋b2＝2a2b2得2－e2＝2a2(1－e2)，所以a2＝＝＋，又≤e≤，所以≤a≤，长轴2a∈[，]．　9.已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2的距离的最大值为＋1，且△PF1F2的最大面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点M的坐标为(，0)，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的k∈R，·是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．解析：(1)由题意可知：a＋c＝＋1，×2c×b＝1，因为a2＝b2＋c2，所以a2＝2，b2＝1，c2＝1，

40、所以所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(，0)，联立，消去y，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，则.因为＝(x1－，y1)，＝(x2－，y2)，·＝(x1－)(x2－)＋y1y2＝－(x1＋x2)＋x1x2＋＋y1y2[来源:学

41、科

42、网]＝－(x1＋x2)＋x1x2＋＋k2(x1－1)(x2－1)＝(－－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋＝－.对任意x∈R，有·＝－为定值．