2014难点复习-9《轨迹问题》

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1、1.若动点P到定点F(1，－1)的距离与到直线l：x－1＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(D)A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线解析：因为定点F(1，－1)在直线l：x－1＝0上，所以轨迹为过F(1，－1)与直线l垂直的一条直线，故选D.　2.实数变量m，n满足m2＋n2＝1，则坐标(m＋n，mn)表示的点的轨迹是(D)A．抛物线B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线的一部分解析：设x＝m＋n，y＝mn，则x2＝(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝1＋2y，且由于m，n的取值都有限制，因此变量x的取值也有限制，所以点(m＋

2、n，n)的轨迹为抛物线的一部分，故选D.　3.一圆形纸片的圆心为点O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点．把纸片折叠使点A与Q重合，然后展平纸片，折痕与OA交于P点．当点A运动时点P的轨迹是(B)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：由条件知

3、PA

4、＝

5、PQ

6、，则

7、PO

8、＋

9、PQ

10、＝

11、PO

12、＋

13、PA

14、＝R(R＞

15、OQ

16、)，所以点P的轨迹是椭圆，故选B.　4.已知点A(－1,0)和圆x2＋y2＝2上一动点P，动点M满足2＝，则点M的轨迹方程是(C)A．(x－3)2＋y2＝1B．(x－)2＋y2＝1C．(x－)

17、2＋y2＝D．x2＋(y－)2＝解析：设M(x，y)，P(x0，y0)，由2＝，则2(－1－x,0－y)＝(x0＋1，y0－0)，即(－2－2x，－2y)＝(x0＋1，y0)，所以.又点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，[来源:学科网ZXXK]所以x＋y＝2，即(－2x－3)2＋(－2y)2＝2，化简得(x－)2＋y2＝，故选C.　5.平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹方程为　x＋2y－5＝0　.解析：设C(

18、x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)．因为＝λ1＋λ2，所以.又λ1＋λ2＝1，所以x＋2y－5＝0.　6.设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是　x2＋3y2＝1(x>0，y>0)　.解析：设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0，[来源:Z。xx。k.Com]由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x>0，b＝3y>0.因为点Q与点P关于y轴对称，所以点Q(－x，y)，故由·

19、＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a＝x，b＝3y代入上式得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．　7.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是　(x－2)2＋(y＋1)2＝1　.解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则，即，代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.　8.已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.[来源:Zxxk

20、.Com](1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过点P且垂直于x轴的直线上的点，＝e(e为椭圆C的离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解析：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得，解得，所以b2＝7，[来源:学&科&网]所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x∈[－4,4]．[来源:学科网ZXXK]由已知得＝e2.而e＝，故16(x2＋y)＝9(x2＋y2)．①由点P在椭圆C上得y＝，代入①式并化简得9y2＝112，所以点M的轨迹方程为y＝±(－4

21、≤x≤4)，轨迹是两条平行于x轴的线段．　9.已知圆C与两圆x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n.(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程．解析：(1)两圆半径都为1，两圆心分别为C1(0，－4)、C2(0，2)，由题意得CC1＝CC2，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0，－1)，直线C1C2的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段C1C

22、2的垂直平分线，其方程为y＝－1，即圆C的圆心轨迹L的方程为y＝－1.(2)因为m＝n，所以M(x，y)到直线y＝－1的距离与到点F(0,1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y＝－1为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而＝1，即p＝2，所以，轨迹Q的方程是x2＝4y.