高中数学因式分解的十二种方法

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1、FreedomQan[T]高中数学因式分解的十二种方法　　把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：　　1、提公因法　　如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。　　例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题)　　x-2x-x=x(x-2x-1)　　2、应用公式法　　由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。　　例2、分解因式a+4ab+4b(20

2、03南通市中考题)　　解：a+4ab+4b=（a+2b）　　3、分组分解法　　要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)　　例3、分解因式m+5n-mn-5m　　解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n　　=(m-5m)+(-mn+5n)　　=m(m-5)-n(m-5)　　=(m-5)(m-n)　　4、十字相乘法　　对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b

3、=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)　　例4、分解因式7x-19x-6　　分析：1-3　　72　　2-21=-19　　解：7x-19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法　　对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。　　例5、分解因式x+3x-40FreedomQan[T]　　解x+3x-40=x+3x+()-()-40　　=(x+)-()　　=(x++)(x+-)　　=(x+8)(x-5)　　6、拆、添项法　　可以把

4、多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。　　例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)　　解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)　　7、换元法　　有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。　　例7、分解因式2x-x-6x-x+2　　解：2x-x

5、-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x　　=x[2(x+)-(x+)-6　　令y=x+,x[2(x+)-(x+)-6　　=x[2(y-2)-y-6]　　=x(2y-y-10)　　=x(y+2)(2y-5)　　=x(x++2)(2x+-5)　　=(x+2x+1)(2x-5x+2)　　=(x+1)(2x-1)(x-2)8、求根法　　令多项式f(x)=0,求出其根为x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)　　例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6　　解：令f(x)=

6、2x+7x-2x-13x+6=0　　通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3，-2，1　　则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)　　9、图象法　　令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x,x,x,……x，则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)FreedomQan[T]　　例9、因式分解x+2x-5x-6　　解：令y=x+2x-5x-6　　作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2　　则x+2x-5x-6=(x+1

7、)(x+3)(x-2)　　10、主元法　　先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。　　例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)　　分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列　　解：a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)　　=(b-c)[a-a(b+c)+bc]　　=(b-c)(a-b)(a-c)　　11、利用特殊值法　　将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与

8、差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。　　例11、分解因式x+9x+23x+15　　解：令x=2，则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105　　将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7　　注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，