因式分解的其它几种方法

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1、因式分解的其它几种方法因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，具有一定的灵活性和技巧性，下面我们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上，再补充介绍添项、拆项法，待定系数法、换元法、对称式的分解等有关内容和方法．1．添项、拆项法添项、拆项的目的是在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式，解题时要注意观察分析题目的特点．例1分解因式(1)x4+3x2y2+4y4(2)x4+4解：（1）原式=(x4+4x2y2+4y4)－x2y2=(x2+2y2)2－(xy)2=(x2+2y2+xy)(x2+2y2－xy)(2)原式=（x4+4x2+4）－4x2=(x2+2)2－(

2、2x)2=(x2+2+2x)(x2+2－2x)2．待定系数法（常用于二元二次式的因式分解）若两多项式相等，则它们同次的对应项系数一定相等，利用这条结论可将某些因式分解的问题转化为解方程组的问题来解决．例2分解因式x2+2xy－8y2+2x+14y－3解：∵x2+2xy－8y2=（x+4y）(x－2y)∴设原式=(x+4y+m)(x－2y+n)=x2+2xy－8y2+(m+n)x+(4n－2m)y+mn比较系数得m+n=24n－2m=14mn=－3解方程组得m=3,n=－1∴原式=(x+4y+3)(x－2y－1)3．换元法例3分解因式(x2+3x+2)(x2+7

3、x+12)－120．解原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)－120=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)－120=(x2+5x+6)(x2+5x+4)－120令x2+5x=m,代入上式,得原式=(m+6)(m+4)－120=m2+10m－96=(m+16)(m－6)=(x2+5x+16)(x2+5x－6)=(x2+5x+16)(x+6)(x－1)4．对称式的因式分解在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式．例4分解因式x2(y－z)+y2(z－x)+z2(x－y)分析如果把多项式的x变成y,y

4、变成z,z变成x,很明显，变换后的代数式与原来的代数式恒等，这样的代数式叫做轮换对称式。解∵当x=y时，原式=0∴x－y是原式的一个因式，同理有y－z,z－x也是原式的因式，∴原式=k(x－y)(y－z)(z－x)取特殊值x=2,y=1,z=0代入上式得k=－1∴原式=－(x－y)(y－z)(z－x)=(x－y)(y－z)(x－z)