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时间:2018-10-12
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1、因式分解的多种方法编者按:很多同学在做因式分解的题目时,会觉得无从入手。而面临竞赛题目时,更加摸不着头脑。在此介绍几种因式分解的方法。其实,因式分解没有想象中的那么难。1】提取公因式这种方法比较常规、简单,必须掌握。常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等例一:2x^2-3x=0解:x(2x-3)=0x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。总结:要发现一个规律就是:当一个方程有一个解x=a时,该式分解后必有一个(x-a)因式这对我们后面的学习有帮助。2】公式法将式子利用公式来分解,也是比较简单的方法。常用的公式有:
2、完全平方公式、平方差公式等注意:使用公式法前,建议先提取公因式。例二:x^2-4分解因式分析:此题较为简单,可以看出4=22,适用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)2解:原式=(x+2)(x-2)3】十字相乘法是做竞赛题的基本方法,做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果 例三:把2x^2-7x+3分解因式. 分析:先分解二次项系数
3、,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数): 2=1×2=2×1; 分解常数项: 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 11 ╳ 23 1×3+2×1 =5 13 ╳ 21 1×1+2×3 =7 1-1 ╳ 2-3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1-3 ╳ 2-1 1×(-1)+2×(-3)
4、 =-7经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.解原式=(x-3)(2x-1).总结:对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下: a1c1 ╳ a2c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因
5、式a1x+c1与a2x+c2之积,即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实验,多做,多练。它可以包括前两者方法。4】分组分解法也是比较常规的方法。一般是把式子里的各个部分分开分解,再合起来需要可持续性!例四:x^2+4x+4y^2-y^2可以看出,前面三项可以组成平方,结合后面的负平方,可以用平方差公式解:原式=(x+2)^2-y^2=(x+2+y)(x+2-y)总结:分组分解法需要前面的方法作基础,可见前面方法的重要性。5】换元法整体代入,免去繁琐的麻烦,亦是建立的之前的基础上例五:(x+y
6、)^2-2(x+y)+1分解因式考虑到x+y是以整体出现,展开是十分繁琐的,用a代替x+y那么原式=a^2-2a+1=(a-1)^2回代原式=(x+y-1)^26】主元法这种方法要难一些,多练即可即把一个字母作为主要的未知数,另一个作为常数例六:因式分解16y+2x^2(y+1)^2+(y-1)^2x^4 分析:本题尚且属于简单例用,只是稍加难度,以y为主元会使原式极其烦琐,而以x为主元的话,原式的难度就大大降低了。 原式=(y-1)^2x^4+2(y+1)^2x^2+16y---------------------【主
7、元法】 =(x^2y^2-2x^2y+x^2+8y)(x^2+2)---------------------【十字相乘法】可见,十字相乘十分重要。7】双十字相乘法难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f的二次六项式 在草稿纸上,将a分解成mn乘积作为一列,c分解成pq乘积作为第二列,f分解成jk乘积作为第三列,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)要诀:把缺少的一项当作系数为0
8、,0乘任何数得0, 例七:ab+b^2+a-b-2分解因式 解:原式=0×1×a^2+ab+b^2+a-b-2 =(0×a+b+1)(a+b-2) =(b+1)(a+b-2)8】待定系数法将式子看成方程,将方程的解代入这时就要用到1】中提到的知识点了当一个方程有一个解x=a时,该式
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