第1章 逻辑代数(上)：命题演算

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1、《离散数学教程》教案与习题解析理工学院段景辉第1章逻辑代数（上）：命题演算1.1逻辑联结词与命题公式1.1.1逻辑联结词否定词(negation)“并非”(not)，用符号Ø（或~）表示。设p表示一命题，那么Øp表示命题p的否定。当p真时Øp假，而当p假时Øp真。Øp读作“并非p”或“非p”。用类似表1.1的真值表(truthtable)规定联结词的意义。表1.1pØp0110合取词(conjunction)“并且”(and)，用符号∧表示。设p，q表示两命题，那么p∧q表示合取p和q所得的命题，即当p和q同时为真时p∧q

2、真，否则p∧q为假。p∧q读作“p并且q”或“p且q”。合取词∧的意义和命题p∧q的真值状况可由表1.2来刻划。表1.2pqp∧q001101010001析取词(disjunction)“或”(or)用符号∨表示。设p，q表示两命题，那么p∨q表示p和q的析取，即当p和q有一为真时，p∨q为真，只有当p和q均假时p∨q为假。p∨q读作“p或者q”，“p或q”。析取词∨的意义及复合命题p∨q的真值状况由表1.3描述。表1.3pqp∨q001101010111蕴涵词《离散数学教程》教案与习题解析理工学院段景辉(implicat

3、ion)“如果……，那么……”(if…then…)，用符号→表示。设p，q表示两命题，那么p→q表示命题“如果p，那么q”，它常被称作条件命题。当p真而q假时，命题p→q为假，否则均认为p→q为真。p→q中的p称为蕴涵前件，q称为蕴涵后件。p→q的读法较多，可读作“如果p则q”，“p蕴涵q”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”，“q当p”，“p仅当q”等等。数学中还常把q→p，Øp→Øq，Øq→Øp分别叫做p→q的逆命题，否命题，逆否命题。蕴涵词→的意义及复合命题p→q的真值状况规定见表1.4。表1.4pqp→q0

4、01101011101双向蕴涵词(two-wayimplication)“当且仅当”（ifandonlyif），用符号«表示之。设p，q为两命题，那么p«q表示命题“p当且仅当q”，“p与q等价”，即当p与q同真值时p«q为真，否则为假。p«q读作“p双向蕴涵q”，“p当且仅当q”，“p等价于q”。由于“当且仅当”“等价”常在其它地方使用，因而用第一种读法更好些。双向蕴涵词的意义及p«q的真值状况由表1.5给出。表1.5pqp«q0011010110011.1.2命题公式定义1.1归纳定义命题公式（简称公式proposit

5、ionformula）：（1）命题常元和命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子。（2）如果A，B是命题公式，那么(ØA)，(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(A«B)也是命题公式。（3）只有有限步引用条款（1），（2）所组成的符号串是命题公式。定义1.2设公式A含有命题变元p1，p2，…，pn（有时用A(p1，p2，…，pn)表示这一状况），称p1，p2，…，pn每一取值状况为一个指派(assignments)，用希腊字母a，b《离散数学教程》教案与习题解析理工学院段景辉等表示，当A对取值状况a为真时，称指派a弄真A，

6、或a是A的弄真指派，记为a(A)=1；反之称指派a弄假A，或a是A的弄假指派，记为a(A)=0。1.1.3语句形式化将自然语言表述的命题“翻译”成命题公式，常称为语句形式化。语句形式化要注意以下几个方面：l要善于确定原子命题，不要把一个概念硬拆成几个概念，例如“弟兄”是一个概念，不要拆成“弟”和“兄”、“我和他是弟兄”是一个原子命题。l要注意语句的语用，不同的语用有不同的逻辑含义。例如“狗急跳墙”可能说的是一个规律，也可能说的是一个现象。l要善于识别自然语言中的联结词（有时它们被省略）。例如“风雨无阻，我去北京”一句，可理

7、解为“不管是否刮风、是否下雨我都去北京”。l否定词的位置要放准确。l需要的括号不能省略；而可以省略的括号，在需要提高公式可读性时亦可不省略。l注意“只要¼，就¼”“只有¼，才¼”的正确理解。因果关系也常常用蕴涵词来表示，这一点是有争议的。l语句的形式化的结果未必是唯一的。练习1.1题解1、选择题（1）设P:我将去镇上，Q:我有时间。命题“我将去镇上，仅当我有时间”符号化为（）A．P→Q；B.Q→P；C.P↔Q；D.Q∨P.。【答案】：A（2）设P:张三可以做这件事，Q李四可以做这件事。命题“张三或李四可以做这件事”符号化为

8、（）A．P∨Q；B.P∨Q；C.P↔Q；D.(P∨Q)【答案】：A（3）设P:我们划船，Q:我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（）A．P∧Q；B.P∨Q；C.(P↔Q)；D.P↔Q【答案】：B（4）下列语句中哪个是真命题（）《离散数学教程》教案与习题解析理工学院段景辉A．我正在说谎B.如果1