小波变换在金融时间序列的应用之一：金融时间序列的小波去噪

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1、目录一、小波变换4二、去噪的意义4三、小波阈值去噪4四、去噪的步骤6五、分解层次确定6六、验证7若出现排版错误，可凭借下载记录，加微信535600147，获取PDF版本图表目录图表1：对1-4层小波系数进行阈值处理7图表2：对2-4层小波系数进行阈值处理8图表3：对3-4层小波系数进行阈值处理8若出现排版错误，可凭借下载记录，加微信535600147，获取PDF版本一、小波变换小波变换是一种信号的时间——尺度（时间——频率）分析方法，其具有多分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变

2、，但是其形状可以改变、时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即：在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率；在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。与传统的傅里叶变换相比，小波变换很适合处理非平稳信号和提取信号的局部特征。众所周知，傅里叶变换是将信号分解成一系列不同频率的正余玄函数的叠加：而小波变换是将信号分解为一系列的小波函数的叠加（或者说不同尺度、时间的小波函数的拟合），与傅里叶变换相比，小波变换将傅里叶变换的无限长三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基，这样做，不仅能够获取频率，而且可以定位到

3、时间。从公式可以看出：不同于傅里叶变换，小波变换有两个变量：尺度a和平移量t。二、去噪的意义通常情况下，我们所得到的信号都是具有一定噪声的，大多数情况下，这些噪声为高斯白噪声。对于金融数据而言，由于金融市场中各种偶然因素的影响，使得金融数据，特别是金融时间序列数据中存在许多噪声。这些噪声严重影响了进一步的分析和处理，有必要预先去噪。但是金融时间序列本身具有非平稳、非线性和信噪比高的特点，采用传统的去噪处理方法往往存在诸多缺陷。而小波理论是根据时频局部化的要求而发展起来的，具有自适应和数学显微镜性质，特别适合非平稳、非线性信

4、号的处理。三、小波阈值去噪1、小波基函数选择目前有几十种小波函数，不同的小波函数有不同的去噪效果，未来选取合适的小波函数，分析以下一些与去噪关系紧密的小波函数特性：正交性：保持小波系数间的不相关性，提高除噪性能；紧支撑性：紧支撑宽度越小，小波的局部分辨能力越好，除噪越精细；消失矩：消失矩的特性使小波展开时消去信号的高阶平滑部分，因而小波变换只反映函数的高阶变换部分，从而反映信号奇异性的能力强。针对金融时间序列具有突变性的特点，一定的消失矩是需要的。但是太高的消失矩，若出现排版错误，可凭借下载记录，加微信535600147，

5、获取PDF版本若信号中奇异点比较多时，对小波系数进行阈值处理后，重构失真度可能增大，因此像收益率这样的序列，消失矩不能太高，否则会丢掉很多信息，而股价数据可适当高一点。对称性：越对称的小波，在经过小波变换后，其偏差可能越小，因而有利于除噪后信号的恢复和重建。依据上述综合分析，dbN(即Daubechies系列小波)、symN(Symlets系列小波)、coifN(Coiflet系列小波)都比较合适。对股价序列等比较平缓的序列可以选择消失矩稍高些，N取4-8都是可以的；但对收益率数据，因奇异点密度非常大，消失矩不能太高，建议

6、不超过4。2、阈值的选取在小波域，有效信号对应的系数很大，而噪声对应的系数很小，并且噪声在小波域对应的系数仍满足高斯白噪声分布。阈值的确定主要有以下几条准则：（1）、无偏风险估计阈值（rigrsure）将信号s(i)中的每一个元素取绝对值，再按照从小到大的顺序排序，再将各个元素取平方，从而得到新的信号序列：f(k)=(sort(

7、s

8、))2若取阈值为f(k)的第k个元素的平方根，即：则该阈值产生的风险为（N为小波系数向量长度）：依据所得到的风险曲线Risk(k)，记其最小风险点所对应的值为kmin，那么rigrsure阈值

9、定义为：（2）、固定阈值准则(sqtwolog):设N为小波系数向量长度，则对应的阈值为（3）、混合准则(heursure):它是rigrsure和sqtwolog准则的混合，当信噪比很低时，rigrsure准则估计有很大噪声，这时采用固定阈值。其阈值计算方法为：首先判断两个变量Eta和Crit的大小，若**Eta

10、也是一种固定阈值选择形式上述准则中混合准则和极小准则相对比较保守（仅将部分系数置零），因此在信号的高频信息中有很少一部分在噪声范围内时，这两种阈值比较适合。而另外两种准则，特别是固定阈值方法，能消除更多的噪声，但也有可能将有用信号的高频部分去掉。考虑针对金融数据去噪的目的只是方便后续分析，并不要求完全去