高中数学北师大版选修2－3同步导学案：1.5.2+二项式系数的性质

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1、5.2　二项式系数的性质1．了解杨辉三角．2．掌握二项式系数的性质．(重点)3．会用赋值法求系数和．(难点)[基础·初探]教材整理　二项式系数的性质阅读教材P26～P27“练习”以上部分，完成下列问题．1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数________．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的________，即C＝________.【答案】　(1)相等　(2)和　C＋C2．二项式系数的性质对称性在(a＋b)n展开式中，与首末两端“________”的两个二项式系数相等，即C＝________增减性与最大值增

2、减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)C＋C＋C＋…＋C＝________.(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝________【答案】　等距离　C　(1)2n　(2)2n－11．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　)A．11B．10C．9D．8【解析】　∵只有第5项的二项式系数最大，∴＋1＝5，∴n＝8.【答案】　D2．如图151，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行

3、中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3.图151【解析】　由已知＝，即×＝，化简得＝，解得n＝34.【答案】　34[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]与“杨辉三角”有关的问题　如图152，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．图152【精彩点拨】　由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，……，第17项是C，第18项是C，第19项是C.【自主解答】

4、　S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C＝＋220＝274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：[再练一题]1．(2016·南充高二检测)如图153所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．图153【解析】　由图表

5、可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝.【答案】　46　求展开式的系数和　设(1－2x)2017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2017·x2017(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2017的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2017的值；(3)求

6、a0

7、＋

8、a1

9、＋

10、a2

11、＋…＋

12、a2017

13、的值．【精彩点拨】　先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．【自主解答】　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2017＝(－1)2017＝－1.①(2)令x＝－1，得a0－a

14、1＋a2－…－a2017＝32017.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2017)＝－1－32017，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2017＝.(3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N＋)．∴

15、a0

16、＋

17、a1

18、＋

19、a2

20、＋

21、a3

22、＋…＋

23、a2017

24、＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2017＝32017.1．解决二项式系数和问题思维流程．2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令

25、x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．[再练一题]2．已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为(　　)A．－20　B．0C．1D．20【解析】　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.【答案】　D[探究共研型]二项式系数性质的应用探究1　根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一