高等代数(张禾瑞版)教案-第章线性方程组

《高等代数(张禾瑞版)教案-第章线性方程组》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高等代数(张禾瑞版)教案-第4章线性方程组第四章线性方程组4.1消元法教学目的：1、掌握线性方程组的和等变换，矩阵的初等变换等概念。理解线性方程组的和等变换是同解变换，以及线性方程组的初等变换可用增广矩阵的相应的行初等变换代替。2、熟练地掌握用消元发解线性方程组，以及判断线性方程组有没有解和解的个数。设方程组:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1;a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2;(1)………………………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm.1线性方程组的初等变换:例1解线性方程组:11x1+x2+x3=1

2、235(2)x1+x2+3x3=3342x1+x2+5x3=23从第一和第三方程分别减去第二个方程的1倍和2倍,来消去前两个方程中的未知量x1(即2把x1的系数化为零).我们得到:111x1-x3=-2225x1+x2+3x3=33--2x2-x3=-4为了计算的方便,我们把第一个方程乘以-2后,与第二个方程交换,得:x1+5x2+3x3=33x2+x3=1-2x2-x3=-4把第二个方程的2倍加到第三个方程,来消去后一方程中的未知量x2,我们得到:x1+5x2+3x3=33x2+x3=1x3=-2现在很容易求出方程组的解.从第一个方程减去

3、第三个方程的3倍,再从第二个方程减去第三个方程(相当于把x3的值-2代入第一和第二个方程),得x1+5x2=93x2=3x3=-2再从第一个方程减去第二个方程的x1=4x2=3x3=-2这样我们就求出了方程组(2)的解.5倍(相当于把x2的值3代入第一个方程),得3分析一下以上的例子,我们看到,我们对方程组施行了三种变换:1)交换两个方程的位置;2)用一个不等于零的数乘某一个方程;3)用一个数乘某一个方程后加到另一个方程.我们把这三种变换叫做线性方程组的初等变换.由初等代数知道,以下定理成立.定理4.1.1初等变换把一个线性方程组边为一个与

4、它同解的线性方程组.2矩阵：利用线性方程组(1)的系数可以排成如下的一个表:?a11??a(3)?21...???am1aaa1222...m2............??2n?,...??amn??1naa而利用(1)的系数和常数项又可以排成下表:?a11??a21?(4)a31??...???am1aaaa122232...m2...............aaa1n2n......mn...??bm??b??b??b?.123定义1由st个数cij排成一个s行t列的表?c11c12??c21c22???????cs2?cs1????c

5、c??2t???cst??1t叫作一个s行t列（或s?t）矩阵。叫cij作这个矩阵的元素。注意：矩阵和行列式虽然形式上有写类似，但有完全不同的意义。一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表。我们把矩阵（3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系数矩阵和增广矩阵。一个线性方程组的增广矩阵显然完全能够代表这个方程组，我们按照线性方程组的初等变换引入矩阵的初等变换的概念定义2：矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：1)交换矩阵的两行（列）;2)用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）

6、的每一个元素；3)用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一刚（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵。因此我们将要通过化简急诊来讨论化简线性方程组的问题。这样作，不但讨论起来比较方便，而且能够给予我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出。我国古数学书九章算术（至迟写成于三世纪）中，就是用这种方法解线性方程组的。在对一个线性方程

7、组施行初等变换时，我们的目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左段化简。因此我们先来研究，利用三种初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题。在此，为了叙述方便，除了行初等变换外，我们还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一种初等变换。后一种初等变换相当于交换方程组中未知量，这对于方程组的研究显然没有什么影响。在例1里，我们曾把方程组（2）的系数矩阵?1??2?1???2?先化为1?1?3?53?。?3?45?3???1??0?0??然后进一步化为5?3?3?11?01????100????010??001???对于任一线性方程组的系数矩阵来

8、说，我们一般不能它化为这样简单的形式。但我们有定理4.1.2设A是一个m行n列矩阵：?a11??aA=?21...???am1?1??0?0（5）r行??.....?...??0