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《高等代数张禾瑞版教案-第4章线性方程组.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第四章 线性方程组4.1消元法教学目的：1、掌握线性方程组的和等变换，矩阵的初等变换等概念。理解线性方程组的和等变换是同解变换，以及线性方程组的初等变换可用增广矩阵的相应的行初等变换代替。2、熟练地掌握用消元发解线性方程组，以及判断线性方程组有没有解和解的个数。设方程组:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1;a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2;(1)………………………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm.1线性方程组的初等变换:例1解线性方程组:x1+x+x=1(2)x1+x+3x=32x1+x+5x=2从第一和
2、第三方程分别减去第二个方程的倍和2倍,来消去前两个方程中的未知量x(即把x的系数化为零).我们得到:-x1-x=-x1+x+3x=3-2x-x=-4为了计算的方便,我们把第一个方程乘以-2后,与第二个方程交换,得:x1+x+3x=3x+x=1-2x-x=-4把第二个方程的2倍加到第三个方程,来消去后一方程中的未知量x,我们得到:x+x+3x=3x+x=1x=-2现在很容易求出方程组的解.从第一个方程减去第三个方程的3倍,再从第二个方程减去第三个方程(相当于把x的值-2代入第一和第二个方程),得x+x=9x=3x=-2再从第一个方程减去第二个方程
3、的倍(相当于把x的值3代入第一个方程),得x=4x=3x=-2这样我们就求出了方程组(2)的解.分析一下以上的例子,我们看到,我们对方程组施行了三种变换:1)交换两个方程的位置;2)用一个不等于零的数乘某一个方程;3)用一个数乘某一个方程后加到另一个方程.我们把这三种变换叫做线性方程组的初等变换.由初等代数知道,以下定理成立.定理4.1.1初等变换把一个线性方程组边为一个与它同解的线性方程组.2矩阵：利用线性方程组(1)的系数可以排成如下的一个表:(3),而利用(1)的系数和常数项又可以排成下表:(4).定义1由st个数c排成一个s行t列的表叫
4、作一个s行t列（或s´t）矩阵。叫作这个矩阵的元素。注意：矩阵和行列式虽然形式上有写类似，但有完全不同的意义。一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表。我们把矩阵（3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系数矩阵和增广矩阵。一个线性方程组的增广矩阵显然完全能够代表这个方程组，我们按照线性方程组的初等变换引入矩阵的初等变换的概念定义2：矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换： 1)交换矩阵的两行（列）;2)用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；3)用某一数乘矩阵的某一行
5、（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一刚（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵。因此我们将要通过化简急诊来讨论化简线性方程组的问题。这样作，不但讨论起来比较方便，而且能够给予我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出。我国古数学书九章算术（至迟写成于三世纪）中，就是用这种方法解线性方程组的。在对一个线性方程组施行初等变换时，我们的目的是消去未知量，也
6、就是说，把方程组的左段化简。因此我们先来研究，利用三种初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题。在此，为了叙述方便，除了行初等变换外，我们还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一种初等变换。后一种初等变换相当于交换方程组中未知量，这对于方程组的研究显然没有什么影响。在例1里，我们曾把方程组（2）的系数矩阵。先化为然后进一步化为对于任一线性方程组的系数矩阵来说，我们一般不能它化为这样简单的形式。但我们有定理4.1.2设A是一个m行n列矩阵：A=通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式：（5）r行进而化为以下形式：(6)这里r≥0,r≤m
7、,r≤n,*表示矩阵的元素，但不同位置的*表示的元素未必相同。证若是矩阵A的元素都等于零，那么A已有（5）的形式。设某一不等于零。必要时交换矩阵的行和列，可以使这个元素位在矩阵的左上角。用乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适当倍数，矩阵A化为B=。若在B中，除第一行外，其余各行的元素都是零，那么B已有（5）的形式。设在B的后m-1行中有一个元素b不为零。把b换到第二行第二列的交点的位置，然后用与上面同样的方法，可把B化为。如此继续下去，最后可以得出一个形如（5）的矩阵。形如（5）的矩阵可以进一步化为形如（6）的矩阵是显然的。我们只要由第一
8、，第二，…，第r-1行分别减去第r行的适当倍数，再由第一、第二，……第r-2行分别减去第r-1行的适当倍数，等等。ð现在考察方程组（1）的增广矩阵（4
