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《高等代数张禾瑞版教案-第3章行列式.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.3n阶行列式教学目的：1、理解和掌握n阶行列式的定义和性质。2、能熟练地应用行列式的定义和性质来计算和证明有关的行列式。教学内容：1、行列式的定义：任意取n个数a（i=1,2,…,n;j=1,2,…,n）,排成以下形式：aa…aaa…a(1)…………….aa…a.考察位于（1）的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积。这种乘积可以写成下面的形式：aa…a, （2）这里下标j,j,...,j是1，2，…，n这n个数码的一个排列。反过来，给了n个数码的任意一个排列，我们也能得出这样的一个乘积。因此，一切位于（1）的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积一共有n
2、!个。我们用符号p(jj…j)表示排列jj…j的序数。定义用符号表示的n阶行列式指的是n!项的代数和，这些项是一切可能的取自（1）的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积aa…a.项aa…a符号为（-1）,也就是说，当jj…j是偶排列时，这一项的符号为正，当jj…j是奇排列时，这一项的符号为负。一个n阶行列式正是前面所说的二阶和三阶行列式的推广。特别，当n=1时，一阶行列式
3、a
4、就是数a.例1我们看一个四阶行列式D=.根据定义，D是一个4！=24项的代数。然而在这个行列式里，除了acfh,bdeg,bcfg这四项外，其余的项都至含有一个因子0，因而等于0。与上面四项对应的排列
5、依次是1234，1324，4321，4231。其中第一个和第三个是偶排列，第二个和第四个是奇排列。因此D=acfh-adeh+bdeg-bcfg.2、转置行列式：设D=..如果把D的行变为列，就得到一个新的行列式D’=D’叫做D的转置行列式。引理3.3.1从n阶行列式的第i,i,…,i行和第j,j,...,j列取出元素作乘积aa…a,(3)这里ii…i和jj...j都是1,2,…,n这n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是（-1）,s=p(ii…i),t=p(jj...j).证如果交换乘积（3）中某个因子的位置，那么（3）的元素的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经
6、过一次对换。假定经过这样一次对换后所得的两个反序分别为s’和t’，那么由定理3.2.2，s’-s和t’-t都是奇数。因为两个奇数的和是一个偶数，所以（s’+s）-(s+t)=(s’-s)+(t’-t)是一个偶数。因此s’+t’与s+t同时是偶数或同时是奇数，从而（-1）=（-1）.另一方面，由定理3.2.1，排列ii…i总可以经过若干次对换变为12…n.因此，经过若干次变换因子的次序，乘积（3）可以变为（4）aa…a,这里kk…k是n个数码的一个排列。根据行列式的定义，乘积（4），因而乘积（3）的符号是（-1）。然而p（12…n）=0.由上面的讨论可知（-1）=（-1）=（
7、-1）。引理被证明。现在设aa…a是n阶行列式D的任意一项。这一项的元素位于D的不同的行和不同的列，所以位于D的转置行列式D’的不同的行和不同的列，因而也是D’的一项。由引理3.3.1，这一项在D里和在D’里的符号都是（-1）。反过来，D’的任意一项也是D的一项，并且D中不同的两项显然也是D’中不同的两项。因为D与D’的项数都是n！，所以D与D’是带有相同符号的相同项的代数和，既D=D’。于是有命题3.3.2行列式与它的转置行列式相等。命题3.3.3交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。证设给定行列式D=交换D的第I行与第j行得D=(旁边的i和j表示行的序数)。D
8、的每一项可以写成a…a…a…a.(5)因为这一项的元素位于D的不同的行和不同的列，所以它也是D的一项。反过来，D的每一项也是D的一项，并且D的不同项对应着D的不同项。因此D与D含有相同的项。D中的符号是（-1）。然而在D中，原行列式的第i行变成第j行，第j行变成第i行,而列的次序并没有改变。所以由引理3.3.1，并注意到p（1…j…i…n）是一奇数，（5）在D中的符号是（-1）=（-1）因此（5）在D和D中的符号相反。所以D与D的符号相反。交换行列式两列的情形，可以利用命题3.3.2归结到交换两行的情形。推论3.3.4如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零
9、。命题3.3.5把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k，等于以数k乘这个行列式。证设把行列式D的第i行的元素a,a,…,a乘以k而得到行列式D。那么D的第i行的元素是ka,ka,…,ka.D的每一项可以写作a…a…a.(6)D中对应的项可以写作a…（ka）…a=ka…a…a.(7)(6)在D中的符号与（7）在D中的符号都是（-1）。因此，D=kD.推论3.3.6一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。推论3.3.7如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于
