张禾瑞高等代数课件第一章

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1、第一章基本概念1.1集合1.2映射1.3数学归纳法1.4整数的一些整除性质1.5数环和数域课外学习1:山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村----评析数学进程中的三次危机在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。――康托尔（Cantor,集合论的奠基人，1845－1918）算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。--高斯（Gauss,1777-1855）数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。--麦斯韦(JamesClarkMaxwell1831-1879)惠州学院数学系1.1集合内容分布1.1.1集

2、合的描述性定义1.1.2集合的表示方法1.1.3集合的包含和相等1.1.4集合的运算及其性质教学目的掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法重点、难点集合概念、证明集合相等惠州学院数学系1.1.1集合的描述性定义表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如“一队”、“一班”、“一筐”.组成集合的东西叫这个集合的元素.我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示元素.如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作；或者说A包含a，记作A∋a如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作；或者说A不包含a，记作例如，设A是一切偶数

3、所成的集合，那么4∈A，而.惠州学院数学系一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫做有限集合.如，前十个正整数的集合；一个学校的全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等等这些都是有限集合.如果一个集合是由无限多个元素组成的，就叫做无限集合.如，全体自然数的集合；全体实数的集合；小于的全体有理数的集合等等都是无限集合.不含任何元素的集合叫空集.表示为：Ø惠州学院数学系1.1.2集合的表示方法枚举法:例如,我们把一个含有n个元素的集合的有限集合表示成：.前五个正整数的集合就可以记作.枚举仅用来表示有限集合.拟枚举:自然数的集合可以记作,拟枚举可以用

4、来表示能够排列出来的的集合,像自然数、整数…概括原则:如果一个集A是由一切具有某一性质的元素所组成的，那么就用记号来表示.例如惠州学院数学系表示一切大于-1且小于1的实数的所组成的集合.常用的数集：全体整数的集合，表示为Z全体有理数的集合，表示为Q全体实数的集合，表示为R全体复数的集合，表示为C惠州学院数学系1.1.3集合的包含和相等设A，B是两个集合，如果A的每一元素都是B的元素，那么就说Ａ是Ｂ的子集，记作（读作Ａ属于Ｂ），或记作（读作Ｂ包含Ａ）.根据这个定义，Ａ是Ｂ的的子集必要且只要对于每一个元素x，如果，就有.例如，一切整数的集合是一切有理数的集合

5、的子集，而后者又是一切实数的集合的子集.A是B的子集，记作：惠州学院数学系如果A不是B的子集，就记作：或.因此，A不是B的子集，必要且只要A中至少有一个元素不属于B，即：例如，一节可以用被有整除的整数所成的集合，不是一切偶数所成的集合的子集，因为3属于前者但不属于后者.集合{1，2，3}不是{2，3，4，5}的子集.根据定义，一个集合A总是它自己的子集，即：如果集合A与B的由完全相同之处的元素组成部分的，就说A与B相等，记作：A=B.我们有惠州学院数学系例如，设A={1，2}，B是二次方程的根的集合，则A=B.惠州学院数学系1.1.4集合的运算及其性质并

6、运算设A，B是两个集合.由A的一切元素和B的一切元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作.如图1所示.AB例如，A={1，2，3}，B={1，2，3，4}，则又例如，A是一切有理数的集合，B是一切无理数的集合，则是一切实数的集合.显然，或根据定义，我们有惠州学院数学系交运算由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A与B的交集(简称交)，记作：，如图2所示.显然，，例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则我们有惠州学院数学系两个集合A与B不一定有公共元素，我们就说它们的交集是空集.例如，设A是一切有理数的集合，B是一切无理数的集合，那么

7、就是空集.又如方程的实数根的集合为空集.空集是任意集合的子集.惠州学院数学系运算性质:交换律:;结合律:;分配律:我们选取一个来证明.例1证明证明设，那么且，于是且至少属于B与C中的之一.若，那么因为，所以，；同样，若，则.不论哪一种情形都有.所以反之，若，那么或者.但，，所以不论哪一种情形都有，所以这就证明了上述等式.惠州学院数学系两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去，设是给定的集合.由的一切元素所成的集合叫做的并；由的一切公共元素所成的集合叫做的交.的并和交分别记为：和.我们有惠州学院数学系差运算：设A，B是两个集合，令也就是说，是由一

8、切属于A但不属于B的元素所组成的，称为A与B的差.注意：并没有要求B是A的子集.