1实变函数论的内容

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1、绪   论 1.实变函数论的内容   顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学都已学过，中学学的函数概念都是以实数为变量的函数，大学的数学分析，常微分方程都是研究的以实数为变量的函数，那么实函还有哪些可学呢？简单地说：实函只做一件事，那就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。   何以说明现有的积分范围小了呢？因为                     D(x)＝  这样形式极为简单的函数都不可积，所以我们认为积分范围狭窄。   如何改造积分定义来达到拓广积分范围的目的呢？让我们先剖析一下造成这一缺陷的根本原因在何处，只有先找准病根，然后才能对症

2、下药。由数学分析知：对任意分划T：a＝x＜x＜x＜......＜x=b，由于任意一个正长度区间内既有有理数又有无理数，所以恒有：   S(T,D)－s(T,D)≡1－0=1如果分划不是这样呆板，这样苛刻地要求一定要分成区间的话，还是有可能满足大小和之差任意小的。比如，只要允许将有理数分在一起，将无理数分在一起，那么大小和之差就等于零了。这就是问题的着眼点，首先让分化概念更加广泛，更加灵活，从而可将函数值接近的分在一起以保证大小和之差任意小。即D:E＝E[yf

3、]mE＜ε，只须[y-y]＜ε，这里mE[yf

4、测度之和(即可列可加性成立)。只能对部分集合规定满足这两点基本要求的测度，这一部分集合便是可测集合(即第四章内容)。那么哪些函数才能保证形如E[yf

5、积分的原始思路，也是传统教材介绍Lebesgue积分定义的普遍方法。鉴于人们在研究可测函数时发现：可测函数的本质特征是正、负部函数的下方图形均为可测集。结合Riemann积分的几何意义，使我们自然想到：与其说测度推广了定义域的长度（面积、体积）概念后使得我门作大、小和更加灵活多样，以达推广积分的目的，不如说由于定义域与实数域的乘积空间的面积（体积）概念的推广,使得大量的象Dinichni函数那样图形极其不规则的下方图形可以求面积（体积）了，从而拓宽了可积范围。于是我们在本教材中采取直接规定其测度之差为积分值（如果差存在的话）的办法，该定义简单、明了、直观。既有效地避免了分划

6、、大（小）和、确界概念的繁琐，又成功地回避了先在测度有限，函数有界条件下讨论积分性质，然后推广到测度无限，函数无界的一般情形的重复、哆嗦。 2.实变函数论的特点   由以上叙述可以看出《实变函数论》内容单纯，学习起来应该简单，然而实际情况却大相径庭，各届同学都叫困难。原因在何处呢？原因在于高度抽象，理论性强。   抽象到什么程度呢？仅据两例说明之：   一是“似是而非”。   例１：若许多同学站成一列，且男女生交叉排列，任意两个男生中间有女生，任意两个女生中间有男生，在其中任取一个片段，男女生的个数无非有三种可能：或男女生一样多或男生多一个或女生多一个，也就是说在任一片段中

7、男女生个数至多相差一个。直线上的有理数、无理数表面看来很类似，任意两个有理数中间有无理数，任意两个无理数中间有有理数，在其中任取一节线段，有理数、无理数的个数似乎无非只有三种可能：或有理数、无理数一样多或有理数多一个或无理数多一个，也就是说在任一片段中有理数、无理数个数至多相差一个。但严密的逻辑推理告诉我们：这种说法是错误的，事实上，有理数比无理数少得多。少到什么程度？有理数相对无理数而言是那样的微不足道，有他不多，无他不少。即无理数居然与实数一样多。 二是“似非而是”   例２：有理数在直线上密密麻麻，自然数在直