《数学分析》(华师大二版)课本上的习题5

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1、P.94习题1．已知直线运动方程为。分别令，求从至这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。解平均速度当时，当时，当时，瞬时速度2．等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。解设旋转体时刻转过的角度为，若极限存在，则定义该极限值为旋转体在时刻的角速度。3．设，，试求极限解4．设，试确定，的值，使在可导。解要使在可导，在必连续，于是必左连续。，从而。在的右导数。左导数为102只要，则在的左导数与右导数相等，从而可导。这时5．试确定曲线上哪些点的切线平行于下列直线：（1）（2）解函

2、数的导数，两直线平行的条件是斜率相等。（1）直线的斜率为1，于是由，得，所以曲线上点处的切线平行于直线。（2）直线的斜率为2，于是由，得，所以曲线上点处的切线平行于直线。6．求下列曲线在指定点P的切线方程与法线方程：（1）（2）解（1）切线方程为：，法线方程：（2）切线方程为：，法线方程：7．求下列函数的导数：（1）（2）解（1）当时，；当时，；102当时，，，所以。（2）当时，；当时，；当时，，，左导数与右导数不相等，所以在不可导。8．设函数（m为正整数），试问：（1）m等于何值时，在连续；（2）m等于何值时

3、，在可导；（3）m等于何值时，在连续。解（1），故对任意正整数m，在连续。（2），故当时，在可导。（3）先计算的导函数。，102由（2）知，，于是当时，有，所以当时，在连续。9．求下列函数的稳定点：（1）（2）解（1），令，得稳定点为：，k为整数。（2），令，得稳定点为：10．设函数在点存在左右导数，试证在点连续。证明设函数在点存在左右导数，于是从而，即在点左连续。同理可证在点右连续。因而在点连续。11．设，，求102解（因为）12．设是定义在R上的函数，且对任何，都有若，证明对任何，都有证明在中令，可得.在中

4、令，得，于是有，从而有，所以13．证明：若存在，则证明14．证明：若函数在上连续，且，，则在内至少有一点，使102证明因为，所以由函数极限的局部保号性，存在点的右邻域，，使得当时，有，于是.又因为，所以也存在点的左邻域，，使得当时，有，于是有，从而.因为函数在上连续，于是在上连续，由闭区间上连续函数的介值定理，至少存在一点，使得.15．设有一吊桥，其铁链成抛物线型，面端系于相距100米高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点下10米处，求铁链与支柱所成之角.解建立坐标系如图，设铁链曲线为，由题意有于是.铁链在悬点的

5、切线斜率为，从而铁链与支柱所成之角为16．在曲线上取一点，过的切线与该曲线交于，证明：曲线在处的切线斜率正好是在处切线斜率的四倍.证曲线上点处的切线斜率为，过点的切线方程为.该切线与曲线的交点满足：，于是有，，，从而.所以曲线在点处的切线斜率为：，正好是在处切线斜率的四倍.102P.103习题4．对下列各函数计算（1）（2）（3）解（1），，（2）令，则，于是。从而，，也可以如下进行：在两端分别对求导数，得，再令，…….（3）令，则，于是。从而，，6．设为可导函数，证明：若时有，则必有或证明因为，，所以当时有，

6、，由题设，有，于是，从而或另证：当时102由题设，有，于是，从而或P.105习题4．证明曲线，（）上任一点的法线到原点距离等于.证明曲线上点处的切线斜率为,法线斜率为.于是该点的法线方程可表示为.从而原点到该法线的距离为5．证明：圆（）上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角.证明由教材P.105,公式(5),切线与向径的夹角的正切为，所以切线与向径的夹角等于向径的极角.6．求心形线的切线与切点向径之间的夹角.解切线与切点向径之间的夹角的正切：，所以P.109习题2．设函数在点处二阶可导，证明：若，则在处有10

7、2证明因为在点处二阶可导，所以在的某邻域内一阶可导，并且，，在处有所以在处有3．求下列函数的高阶导数⑷，求解由Leibniz公式，有5．求下列函数的n阶导数：⑶因为，所以⑷因为，，，由Leibniz公式，得102⑸解因为所以⑹解其中，，.一般地可推得7．研究函数在处的各阶导数.解首先计算一阶导数：因为，所以当时，，当时，.，102，所以.于是.其次计算二阶导数：当时，，当时，.，，所以，从而.三阶导数：，，所以不存在.故,当时,不存在.8．设函数在点三阶可导，且.若存在反函数，试用，以及表示.解，所以9．设⑴证

8、明它满足方程102⑵求解⑴由，于是有上式两端对求导，得⑵上式对求阶导数，得由，得；由，得；由，得；由，得.从而有，10．设⑴证明它满足方程（）⑵求解⑴用数学归纳法证明：由，于是有，即时，有假设时，有上式对求导数，得102于是有，即当时，等式也成立.⑵在⑴中的方程中令得.再从，，可得到，11．证明函数在处阶可导且，其中为任意正整数.证明用数学归纳法证明:,,其中为次数不超过的多项式.而对