《数学分析》(华师大二版)课本上的习题5

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1、P.94习题1.已知直线运动方程为。分别令,求从至这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。解平均速度当时,当时,当时,瞬时速度2.等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比,试由此给出变速旋转的角速度的定义。解设旋转体时刻转过的角度为,若极限存在,则定义该极限值为旋转体在时刻的角速度。3.设,,试求极限解4.设,试确定,的值,使在可导。解要使在可导,在必连续,于是必左连续。,从而。在的右导数。左导数为102只要,则在的左导数与右导数相等,从而可导。这时5.试确定曲线上哪些点的切线平行于下列直线:(1)(2)解函

2、数的导数,两直线平行的条件是斜率相等。(1)直线的斜率为1,于是由,得,所以曲线上点处的切线平行于直线。(2)直线的斜率为2,于是由,得,所以曲线上点处的切线平行于直线。6.求下列曲线在指定点P的切线方程与法线方程:(1)(2)解(1)切线方程为:,法线方程:(2)切线方程为:,法线方程:7.求下列函数的导数:(1)(2)解(1)当时,;当时,;102当时,,,所以。(2)当时,;当时,;当时,,,左导数与右导数不相等,所以在不可导。8.设函数(m为正整数),试问:(1)m等于何值时,在连续;(2)m等于何值时

3、,在可导;(3)m等于何值时,在连续。解(1),故对任意正整数m,在连续。(2),故当时,在可导。(3)先计算的导函数。,102由(2)知,,于是当时,有,所以当时,在连续。9.求下列函数的稳定点:(1)(2)解(1),令,得稳定点为:,k为整数。(2),令,得稳定点为:10.设函数在点存在左右导数,试证在点连续。证明设函数在点存在左右导数,于是从而,即在点左连续。同理可证在点右连续。因而在点连续。11.设,,求102解(因为)12.设是定义在R上的函数,且对任何,都有若,证明对任何,都有证明在中令,可得.在中

4、令,得,于是有,从而有,所以13.证明:若存在,则证明14.证明:若函数在上连续,且,,则在内至少有一点,使102证明因为,所以由函数极限的局部保号性,存在点的右邻域,,使得当时,有,于是.又因为,所以也存在点的左邻域,,使得当时,有,于是有,从而.因为函数在上连续,于是在上连续,由闭区间上连续函数的介值定理,至少存在一点,使得.15.设有一吊桥,其铁链成抛物线型,面端系于相距100米高度相同的支柱上,铁链之最低点在悬点下10米处,求铁链与支柱所成之角.解建立坐标系如图,设铁链曲线为,由题意有于是.铁链在悬点的

5、切线斜率为,从而铁链与支柱所成之角为16.在曲线上取一点,过的切线与该曲线交于,证明:曲线在处的切线斜率正好是在处切线斜率的四倍.证曲线上点处的切线斜率为,过点的切线方程为.该切线与曲线的交点满足:,于是有,,,从而.所以曲线在点处的切线斜率为:,正好是在处切线斜率的四倍.102P.103习题4.对下列各函数计算(1)(2)(3)解(1),,(2)令,则,于是。从而,,也可以如下进行:在两端分别对求导数,得,再令,…….(3)令,则,于是。从而,,6.设为可导函数,证明:若时有,则必有或证明因为,,所以当时有,

6、,由题设,有,于是,从而或另证:当时102由题设,有,于是,从而或P.105习题4.证明曲线,()上任一点的法线到原点距离等于.证明曲线上点处的切线斜率为,法线斜率为.于是该点的法线方程可表示为.从而原点到该法线的距离为5.证明:圆()上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角.证明由教材P.105,公式(5),切线与向径的夹角的正切为,所以切线与向径的夹角等于向径的极角.6.求心形线的切线与切点向径之间的夹角.解切线与切点向径之间的夹角的正切:,所以P.109习题2.设函数在点处二阶可导,证明:若,则在处有10

7、2证明因为在点处二阶可导,所以在的某邻域内一阶可导,并且,,在处有所以在处有3.求下列函数的高阶导数⑷,求解由Leibniz公式,有5.求下列函数的n阶导数:⑶因为,所以⑷因为,,,由Leibniz公式,得102⑸解因为所以⑹解其中,,.一般地可推得7.研究函数在处的各阶导数.解首先计算一阶导数:因为,所以当时,,当时,.,102,所以.于是.其次计算二阶导数:当时,,当时,.,,所以,从而.三阶导数:,,所以不存在.故,当时,不存在.8.设函数在点三阶可导,且.若存在反函数,试用,以及表示.解,所以9.设⑴证

8、明它满足方程102⑵求解⑴由,于是有上式两端对求导,得⑵上式对求阶导数,得由,得;由,得;由,得;由,得.从而有,10.设⑴证明它满足方程()⑵求解⑴用数学归纳法证明:由,于是有,即时,有假设时,有上式对求导数,得102于是有,即当时,等式也成立.⑵在⑴中的方程中令得.再从,,可得到,11.证明函数在处阶可导且,其中为任意正整数.证明用数学归纳法证明:,,其中为次数不超过的多项式.而对

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