《数学分析》(华师大二版)课本上的习题22

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1、第二十二章曲线积分与曲面积分P.361第一型曲线积分与第一型曲面积分1.计算下列第一型曲线积分：（1）为顶点的三角形；（2），其中L是以原点为中心，R为半径的右半圆周；（3），其中为椭圆在第一象限中的部分；（4），其中为单位圆；（5），其中为螺旋线的一段；（6），其中为曲线的一段；（7）,其中是与相交的圆周．2.求曲线的质量．设其线密度为3.求摆线的重心，设其质量分布是均匀的．4.计算下列第一类型曲面积分：（１）,其中是上半圆面；（２），其中为立体的边界曲面；（３）其中为柱面被平面所截取的部分；（４），其中为平

2、面在第一卦限中的部分；5.若曲线以极坐标表示，试给出计算的公式，并用此公式计算下列曲线积分：（１），其中为曲线的一段；（２），其中为对数螺线在圆内的部分．6.设有一质量分布不均匀的半圆弧，其线密度（为常数），求它对原点处质量为的质点的引力．1.证明：若函数在光滑曲线上连续，则存在点，使得，其中为的长．2.计算，其中为圆锥表面的一部分：　　　　　这里为常数P.371第二型曲线积分1.计算第二型曲线积分：（１），其中为本节例２中的三种情形．（２），其中为摆线沿增加方向的一段；（３），其中为圆周，依逆时针方向；（４）

3、，其中为与轴所围的闭曲线，依顺时针方向；（５），其中：从（１，１，１）到（２，３，４）的直线段．2.设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比．若质点由沿椭圆移动到，求力所作的功。3.设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到平面的距离成反比。若质点沿直线从到，求力作的功。4.证明：曲线积分的估计式：其中为的弧长，，利用上述不等式估计积分，并证明：。５.计算沿空间曲线的第二型曲线积分：（１），其中Ｌ：相交的圆，其方向按曲线依次经过１，２，７，８卦限；（２），其中为球面在第一卦限部分的

4、边界曲线，其方向按曲线依次经过平面部分，平面部分和平面部分．P.381格林公式曲线积分与路线无关性1.应用格林公式计算下列曲线积分：（１），其中为圆周的正向；（２），其中是以为顶点的三角形，方向取正向；（３），其中为常数，为由到经过圆上半部的路线（其中为正数）。２.应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积：（１）椭圆：（２）双扭线：．３.验证下列积分与路线无关，并求它们的值：（1）（2）沿在右半平面的路线；（3）沿不通过原点的路线；（4），其中为连续函数.4.求下列全微分的原函数：（1）（2）（3）5.为了使线积

5、分与积分路线无关，则可微函数应满足怎样的条件？6.计算曲线积分其中和为连续函数;为连接点的任何路线，但与线段围成已知大小为的面积.7.设函数具有一阶连续导数，证明对任何光滑闭曲线，有.8.求积分值，其中为包围有界区域的闭曲线，为的外法线方向.9.设函数在光滑闭曲线所围成的区域上具有二阶连续偏导数。证明，其中沿外法线方向的导数。P.391第二型曲面积分1.计算下列第二型曲面积分：（1），其中为六个平面所围的正方体并取外侧为正向；（2），其中是以原点为中心，边长为2的正方体表面并取外侧为正向；（3），其中是由平面所

6、围的四面体表面并取外侧为正向；（4），其中是球面的上半部分并取外侧为正向；（5），其中是球面并取外侧为正向。2.设某流体的流速为，求单位时间内从球面的内部流过球面的流量.3.计算第二型曲面积分其中是平面六面体的表面并取外侧，为上的连续函数.1.设磁场强度为，求从球内出发通过上半球面的磁通量。P.399高斯公式与斯托克斯公式1.应用高斯公式计算下列曲面积分：（1），其中是单位球面的外侧；（2），其中是立方体表面的外侧；（3），其中是锥面与平面所围的空间区域的表面，方向取外侧；（4），其中是单位球面的外侧；（5），

7、其中是上半球面的外侧。2.应用高斯公式计算三重积分，其中是由与所确定的空间区域.3.应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：（1），其中为与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧；（2）其中为所交的椭圆的正向；（3），其中为以为顶点的三角形沿的方向。4.求下列全微分的原函数：（1）（2）5.验证下列线积分与路线无关，并计算其值：（1）（2）,其中在球面上.6.证明:由曲面包围的立体的体积等于,其中为曲面的外法线方向余弦.7.证明:若为封闭曲面,为任何固定方向,则,其中为曲面的外法线方向.8.证明:公式

8、其中是包围的曲面,为的外法线方向,9.若是平面上的闭曲线,它所包围区域的面积为,求其中依正向进行.P.409场论初步1.若.计算。2.求在点的梯度，并求梯度为零之点。3.证明本节第二段关于梯度的一些基本性质1~5。4.计算下列向量场的散度与旋度：（1）（2）（3）.5.证明本节第三段关于散度的一些基本性质1~3.6.证明本节第四段关于旋度的一些基本性质1~3（可应用算符推演）.7.证明