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《数学分析》(华师大二版)课本上的习题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第十六章多元函数的极限于连续P.120§1平面点集与多元函数1．判断下列平面点集，哪些是开集，闭集，有界集或区域？并分别指出它们的聚点与界点：（1）(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)2.试问集合与集合是否相同？3．证明：当且仅当存在各点互不相同的点列{Pn}E,PnP0.时，P0是E的聚点。4.证明：闭域必为闭集。举例说明反之不真。5．证明：点列收敛于的充要条件是和6．求下列个函数的函数值：（1），求（2），求；（3），求f(tx,ty).7.设F(x,y)=lnxlny,证明：u>0,v>0,
2、则F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v);8.求下列各界函数的定义域，画出定义域的图形，并说明这是何种点集：（1）；（2）（3）f(x,y)=;(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)9.证明：开集与闭集具有对偶性——若E为开集，则Ec为闭集；若E为闭集，则Ec为开集。10．证明：（1）若F1，F2为闭集，则都为闭集；（2）若E1，E2为开集,则都为开集；（3）若F为闭集，E为开集，则FE为闭集，EF为开集。11．试把闭域套定理推广为闭集套定理，并证明之。12．证明定理16.
3、4（有限覆盖定理）§2二元函数的极限1．试求下列极限（包括非正常极限）：（1）；（2）；（3）（3）；（5）；（6）（7）2.讨论下列函数在点（0，0）的重极限与累次极限。(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)3.证明：若1o存在且等于A，2oy在b的某邻域内，存在有4．试应用定义证明。5．叙述并证明：二元函数极限存在的唯一性定理，局部有界性定理与局部保号性定理。6．试写出下列类型极限的精确定义：（1）（2）7．试求下列极限：（1）（2）（3）（4）8．试作一函数f(x,y)使当时，（1）两个累次极限存在而重极限
4、不存在；（2）两个累次极不限存在而重极限存在；（3）重极限和累次极限都不存在；（4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在。9．证明定理16.5及其推论3。§3二元函数的连续性1．讨论下列函数的连续性：（1）（2）(3)0y=0(4)00x为无理数(5)yx为有理数（6）0（7）（8）1．叙述并证明二元连续函数的局部保号性。2．设0讨论它在（0，0）点处的连续性。1．设定义于闭矩形域S=[a,b][c,d].若f对y在[c,d]上处处连续，对x在[a,b]上（且关于y）为一致连续，证明f在S上处处连续。2．证
5、明：若是有界闭域，f为D上连续函数，则f(D)不仅有界（定理16.8），而且是闭区间。3．设在集合上对x连续，对y满足利普希茨条件：，其中（x,y’）,(x,y’’),L为常数，试证明f在G上处处连续。4．若一元函数在[a,b]上连续，令=，（x,y）试讨论f在D上是否连续，是否一致连续？5．设=，证明f在D上连续但不一致连续。6．设f在R2上连续，且证明（1）f在R2上有界；（2）f在R2上一致连续。10．设f在R2上分别对每一个自变量x和y是连续的，并且每当固定x时对y是单调的，证明f是R2上的二元连续函数。总练
6、习题1．设是有界闭集，d(E)为E的直径，证明：存在P1,P2E,使得。2．设=，r=.试分别讨论i=1,2时极限是否存在？为什么？3．设且在（附近有1．设f为定义在R2上的连续函数，是任一实数，证明E是开集，F是闭集。2．设f在有界开集E上一致连续，证明：（1）可将f连续延拓到E的边界。（2）f在E上有界。3．设与在xy平面中的点集E上一致连续；把点集E映射为平面中的点集D，f()在D上一致连续，证明复合函数f[,]在E上一致连续。4．设f(t)在区间(a,b)内连续可导，函数定义在区域内，证明：对任何c(a,b)
7、,有
