42二倍角的三角函数与三角恒等式

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1、4.2二倍角的三角函数与三角恒等式【知识网络】1.熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式；2．二倍角公式的双向运用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用；3．三角恒等式的证明方法有：（1）从等式一边推导变形到另一边，一般是化繁为简.（2）等式两边同时变形成同一个式子.（3）将式子变形后再证明.【典型例题】［例1］(1)下列各式中，值为的是()A.sin15°cos15°B.C.D.（1）D（2）若f（tanx）=sin2x，则f（－1）的值是（）A.－sin2B.－1C.D.1（2）B提示：f（－1）=f［tan（－）］=－sin=－1.（

2、3）若270°＜α＜360°,化简的结果是（）A．sinB．-sinC．cosD．-cos（3）D（4）已知sin+cos=，那么sinθ的值为________，cos2θ的值为_______．（4）（5）．（5）提示：将分子分母同乘以，然后用二倍角正弦公式可得［例2］已知sin（－x）=，0＜x＜，求的值.分析：角之间的关系：（－x）+（+x）=及－2x=2（－x），利用余角间的三角函数的关系便可求之.解：∵（－x）+（+x）=，∴cos（+x）=sin（－x）.又cos2x=sin（－2x）=sin2（－x）=2sin（－x

3、）cos（－x），∴=2cos（－x）=2×=.［例3］求证:解：原式======tan.［例4］已知，，都是锐角，求的值.解：由得3sin2α=1－2sin2β=cos2β.由得sin2β=sin2α.∴cos（α+2β）=cosαcos2β－sinαsin2β=3cosαsin2α－sinα·sin2α=0.∵α、β∈（0，），∴α+2β∈（0，）.∴α+2β=.【课内练习】1．若，则等于（A）（B）（C）（D）1．C2．函数y=sin2x+sinx,x的值域是()(A)［-,］(B)［］(C)［-,］　(D)［］2．B提示

4、：用二倍角公式及两角和与差的正弦或余弦公式3．已知x∈（－，0），cosx=，则tan2x等于（）A.B.－C.D.－3．D4．已知tan=,则的值为（）A．B．-C．D．-4．A提示：5．．，则．5．．提示：由已知得，6．已知，若，则．若,则．6．提示：当，当7．若,则的值为_______．7．提示：去分母后两边平方可得8．已知．解：由得解方程组得或9．求值：．解：原式=10．已知函数.（Ⅰ）求的定义域；（Ⅱ）设的第四象限的角，且，求的值．解：（Ⅰ）由得，故在定义域为（Ⅱ）因为，且是第四象限的角,所以故.作业本A组1．（）(A

5、)(B)(D)1．C2.若（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角2．B提示：，3．已知是第三象限角，且，那么等于（）ABCD3．A4．函数是周期为的函数(奇偶性)．4．奇函数提示：5．简：=．5．-2sin4-4cos4提示：原式=2

6、sin4+cos4

7、+2

8、cos4

9、∵∴sin4+cos4<0cos4<0∴原式=-2(sin4+cos4)-2cos4=-2sin4-4cos46．知，求sin4a的值．解：∵∴∴∴cos2a=又∵∴2aÎ(p,2p)∴sin2a=∴sin4a=2sin2acos2a=7．已知q是

10、三角形中的一个最小的内角，且，求a的取值范围．解：原式变形：即，显然（若，则0=2）∴又∵，∴即：解之得：8．求证：的值是与a无关的定值．证：∴的值与a无关B组1．已知的值为（）ABCD1．D2．已知，当时，式子可化简（）2．D3．已知、的值分别为（）ABCD3．C提示：由得故4．函数的递减区间是．4．提示令可得5．若且=．5．提示：……6．已知6sin2+sincos－2cos2=0，∈［，π］，求sin（2+）的值.解：由已知（3sinα+2cosα）（2sinα－cosα）=03sinα+2cosα=0或2sinα－cos

11、α=0.由已知条件可知cosα≠0，所以α≠，即α∈（，π）.于是tanα＜0，∴tanα=－.sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin=sinαcosα+（cos2α－sin2α）=+×=+×.将tanα=代入上式得sin（2α+）=+×=－+，即为所求.7．已知sina是sinq与cosq的等差中项，sinb是sinq、cosq的等比中项，求证：．证：由题意：2sina=sinq+cosq①sin2b=sinqcosq②①2-2×②：4sin2a-2sin2b=1∴1-2sin2b=2-4sin2a∴cos2b=

12、2cos2a由②：1-2sinb2=1-2sinqcosq∴cos2b=(sinq-cosq)2=∴原命题成立8．知，且、，求的值解：由得又