化实矩阵为准三角形的方法

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1、Ⅴ.2化实矩阵为准三角形的方法矩阵特征值的QR算法，通常在准三角阵的基础上进行。任何矩阵都可经有限次相似变换化成准三角形，但这里只介绍对实矩阵应用豪斯雷尔德(Householder)变换的方法。Ⅴ.2.1准三角阵下述形式的矩阵称为上准三角形矩阵，简称准三角阵：例如，下列矩阵A和B都是准三角阵：或把元素所在的对角线称为对角线，所在的对角线称为次对角线，则准三角阵就是次对角线以下的元素(j

2、素，则称之为是可约的。例如，上述矩阵A是不可约的，而B是可约的。对于矩阵的列可给出相应的定义，例如矩阵H的第i列称为准三角列。≠0时，称不可约，当=0时，称可约。因此，不可约准三角阵的前n－1列都是不可约的，可约准三角阵在前n－1列中至少有一列是可约的。Ⅴ.2.2化准三角形的豪斯霍尔德方法对于任意给定的实矩阵１２可通过n－2次豪斯霍尔德相似变换，自左至右逐列化成准三角形。先看矩阵的第一列。如果该列已是准三角列，则无需变换，否则可应用定理４的推论，构造一个初等对称正交矩阵，进行豪斯霍尔德变换=化的

3、第一列为准三角列。事实上，如果取第一个分量等于零的列向量则按式(Ⅴ-5)构成的初等对称正交矩阵有对角分块形式：其中，，而。将矩阵作相应的分块，并令其中，，于是用对进行豪斯霍尔德变换得==由此可见，在矩阵的第一列中，对角线以下的部分为按定理4的推论，若取则必有，即的第一列为准三角列。依此类推，设经i－1次豪斯霍尔德变换后得出前i－1列为准三角列的矩阵１２（Ⅴ-10)如果的第i列不是准三角列，则可构成矩阵，进行豪斯霍尔德变换=，化第i列为准三角列。这时，取构成的列向量因为的前i个元素等于零，故有对角

4、分块形式其中，，而。将矩阵按式(V-10)作相应的分块，并令于是豪斯霍尔德变换==从而矩阵的相应块。注意到仅最后一列非零，即知的前i－1列仍是准三角列，并且第i列对角线以下的部分按定理4的推论，若取（Ⅴ-11）则有，即的第i列也是准三角列。１２式(Ⅴ-11)中的正负号可任取，但为了减小计算误差，应使向量的第一个分量有较大的模，故通常取与异号。综上所述，用豪斯霍尔德方法化实矩阵A=为准三角形的全过程是=，=，…，（Ⅴ-12)即……。其中，若令，并用sign（a）表示a的符号，则初等对称正交矩阵的计

5、算公式是（Ⅴ-13)例Ⅴ-4用豪斯霍尔德方法化下列矩阵为准三角形：解四阶矩阵应作两次豪斯霍尔德变换。第一次令i=1，由式(Ⅴ-13)和=，依次算出，，。第二次令i=2，由式(Ⅴ-13)和=，即可依次算出最终结果，，。１２Ⅴ.3QR算法的基本原理本节简要地介绍QR算法的一般原理及改进收敛性和提高计算速度的两项措施——先化原始矩阵为准三角形，然后再进行原点位移。具体计算方法在下节讨论。Ⅴ.3.1一般原理定理1指出，分块三角形矩阵的特征值就是各对角块的特征值。如果对角块都是1×1或2×2阶矩阵，则可直

6、接求出它的全部特征值。由此设想：对于任意给定的矩阵A=，如果对它连续作这样的相似变换(V-14)使所得矩阵序列{A}收敛为分块三角形矩阵，并且对角块都是1×1或2×2阶矩阵，那么就可以求出原始矩阵A的全部特征值。实现这一设想的早期做法是LR算法。对于过程(V-14)中的每一次迭代=，首先对进行三角分解：=。然后取变换矩阵=，从而得==。其中，是单位下三角矩阵，是上三角矩阵。LR算法的缺点是数值计算不稳定，并且除某些特殊类型的矩阵外收敛性很差。为了克服这些缺点，人们提出了QR算法：每次迭代首先把分

7、解成U矩阵和上三角矩阵的乘积，即QR分解=(Ⅴ-15)然后取变换矩阵=，从而由和上式得==(Ⅴ-16)矩阵到的这种U相似变换，称为QR变换。由于U矩阵的行和列都是单位向量，所以QR算法的显著优点是数据计算稳定，但是就收敛性和每次迭代的计算量来说，并不比LR算法好。解决这一矛盾的方法是迭代前先把原始矩阵化成准三角形，迭代的每一步进行原点位移。对于这两者，后面将分别加以讨论。从上可知，QR算法的基础是矩阵的QR分解。与三角分解不同，QR分解是五条件的，对此有：定理5对于任何矩阵A(一般地可是复数矩阵

8、)，存在U矩阵Q和对角线元素为非负实数的上三角矩阵R，使分解式A＝QR成立。如果A非奇异，则分解是惟一的。本定理的证明基于下述引理：１２引理对于任何复元素向量，存在U矩阵M，使线性变换。证明如果b是零向量，则M可以是任何U矩阵，例如M＝I。如果b非零，则可取M=TD，其中D为与向量b相应的对角U矩阵D＝diag。因为，故矩阵T有两种可能的取法：当时取T=I；当至少有一个为非零元素时，根据定理4的推论，取T为初等对称正交矩阵。注意到U矩阵的乘积仍是U矩阵，引理得证。对于n阶矩阵A，可根据引理取n－