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《正交化方法在实矩阵分解上的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5∃)67∃6第卷第期淮北煤师院学报!!∀年#∃%&∋()∃∗+%(,−.,/∃()入石川∋01.(23.&4/∃),.0.!!∀正交化方法在实矩阵分解上的应用奚传智,8山东枣庄师专数学系9∀∀:;摘要本文给出了施密特正交化方法在实矩阵分解上的一些应用,关键词施密特正交化矩阵分解实矩阵利用施密特正交化方法,可以从<∋中任意一组线性无关的向量出发,得出一个正交组,【6,进而构造出一个标准正交组’=它的应用不仅仅表现在求标准正交基上还大量地应用于证明中66下面给出正交化方法在实矩阵分解上的应用在非异实矩阵
2、分解上的应用,∋?定理设>是任意阶非异实矩阵则>可唯一分解为以下形式之一,,Δ8≅>Α其中Β为正交阵Χ为主对角元均正的上三角阵ΕΒΧ,,,89≅>ΑΧΒ)其中Β)为正交阵Χ为主对角元均正的上三角阵Ε,,8Φ≅>Α<%其中Β为正交阵<为主对角元均正的下三角阵Ε,,6>ΑΕ非异则其列向量((9⋯(∋线性无关利用施密特正交化方法可得一组标准正交向量6?ΑΓ?,(?刀9Α尸,Η(?Ι尸二(Η刀,,其中几,ϑ;8,司9⋯刀≅,Α?。?ΙΗ,Η
3、ΙΙ6。刀Γ(Γ(⋯Γ(,,,,,,,,,,,即俩乃⋯几≅气((9⋯氏≅Γ尸为主对角元均正的上三角阵故非异记厂,ΑΧΧ仍,,,,,,,,,为主对角元均正的上三角阵ΒΑ俩乃⋯风≅由于乃乃⋯几为<∋的标准正交基所以6,,,,6Χ为正交阵又由于8(?(9⋯嘶≅别因此>ΑΒΧ,,,,,,>ΑΒΔΧΒ)%Ε)Α若另有为正交阵Χ为主对角元均正的上三角阵则ΧΒΧ得,一,Β)犷ΧΧ,Κ,,,,左端为正交阵右端为上三角阵因此ΧΧ尸为对角阵且主对角元为或一)但ΧΧ尸主,,,,6,Α二,一对角元均正因此ΧΧ「Λ即口口故>ΒΧ一,,,一,
4、一,,,,,,,,89≅此时>非异按8)≅>从而>ΑΧΚ『令ΧΚ则Χ仍是主对角元均ΒΧΑΧ?!!∀一;一;Φ收稿日期第期奚传智正交化方法在实矩阵分解上的应用,,,6,Α>?认正的上三角阵令了Β)则Β)仍为正交阵从而ΑΧ,1同理对>与>一用8)≅的结果可证8Φ≅与8≅69在实对称正定矩阵分解上的应用,,定理9设>是一个∋阶实对称正定矩阵则存在唯一的∋阶正定矩阵Μ使得>Α梦8Ν是任一正整数≅,,证明因>正定由【)=知存在正交阵Β使86、兄,)兄)’‘,,Β>ΒΑΟΠ其中几ϑ;8,Α9⋯刀≅又又尸8刁不、。Θ、Π沥丁
5、Π戈抓订少,6则Ρ为正定矩阵且乙户力Β匕了>Α产朋于是班护气%ΡΒ1≅,,,6令ΜΑ则Μ与Ρ合同从而Μ非异实对称且正定适合>二尹ΒΡΒ1,6,设>Α尹ΑΜ厂4与Μ,都是正定矩阵>与4都相似于对角形矩阵因此它们都有。个6Μ的一个特征向量,,,线性无关的特征向量任取(和相应的特征值兄即Μ。兄(鲜;则有6,,,>(亦即(也是>的特征向量因此Μ的∋个线性无关的,尹,尸沪为相应的特征值66,#?特征向量都是>的线性无关特征向量从而Μ与>的特征向量完全一致同样道理Μ与理,,6,的特征向量也完全一致因而Σ与Μ的特征向量完全一致设
6、Μ)声(则(Α’,,,,,声“Α邵(Α>(Α少(但鲜;所以有沪二尸而产与兄都是正实数所以卢兄因此46,,,,与Μ有完全一致的特征向量和相应的特征值那么Μ与Μ可用同样的非异阵1使厂Μ1,,,,,,,6,,与厂Μ1是同样的对角形矩阵即厂Μ升厂Μ1从而ΣΑΣ唯一性得证,Φ>∋>?定理设是一个阶实对称正定矩阵则可唯一分解为以下形式之一,>一Χ其中Χ是主对角元均正的上三角阵Ε8)≅醉,689≅>Α<块其中<是主对角元均正的下三角阵,,证明8)≅由>正定所以存在实非异阵/使>二口/,,,,由定理)的8)≅知/ΑΒΧ其中Β为正交阵
7、Χ为主对角元均正的上三角阵从而>二/1/‘1‘Α8ΒΧ≅又ΒΧ卜Χ了心Χ勺,,,9,,记Χ的主对角元为Τ尹⋯如作矩阵,,Υ,(0印,尹99⋯刃朋≅压,,,,,Χ的第Ε行元素均乘以)ςΓΩ,8,Α)9⋯刀≅可得到单位上三角矩阵乙而ΞΨ且>一ΨΗ乙ΧΑ1Ξ由89≅知当刀对称时有唯一分解式,从而护是唯一确定的,由于Ξ的主对角元均要求正,所以,Ξ也唯一确定从而Χ唯一一,,,,一,Α1,89≅此时>正定由8)≅已证有唯一的主对角均正的上三角阵Χ使>ΧΧ记淮北煤师院学报!!∀年,,6汀1Α<则<就是主对角元均正的下三角阵因而>
8、峨1<,∋?定理设>是一个阶非异实矩阵则>可唯一分解成以下形式,,8)≅>Α其中Β为正交阵Μ为正定阵ΕΒΜ,,689≅>ΑΜΒ其中Β为正交阵Μ为正定阵,,,,证明8)≅因>非异因此>1>为正定矩阵由定理9知>&>矛其中Μ正定8唯一≅Ε此时>一一148>习,令〔升讨一则口.41一,一一,一,Α护别汀习8>习匀汀砧伙Α>毯幼Α>劫从月Λ,6所以Β为
