《数值分析》总复习题-2013年-附部分答案

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1、工程硕士《数值分析》总复习题（2013年用）[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]注：部分文字型的题目请根据提示自行查找，部分题目附图片的是根据老师答疑课上的笔记整理，如有错漏，欢迎指出；碍于本人水平有限，部分题目未有解答。祝各位考试顺利！一.解答下列问题:1）下列所取近似值有多少位有效数字(注意根据什么?):a)对e=2.718281828459045…,取=2.71828(答:6位(因为它是按四舍五入来的))b)数学家祖冲之取作为的近似值.(答:7位(按定义式推得))c)经过四舍五入得

2、出的近似值12345，-0.001,90.55000,它们的有效数字位数分别为5位,1位,7位。2)简述下名词:a)截断误差(不超过60字)(见书P.5)答：它是指在构造数值计算方法时，用有限过程代替无限过程或用容易计算的方法代替不容易计算的方法，其计算结果所存在的误差b)舍入误差(不超过60字)(见书P.6)答：对原始数据、中间计算结果和最后计算结果，都只能取有限位数表示，这就要求进行“舍入”，这时所产生的误差就是舍入误差。c)算法数值稳定性(不超过60字)(见书P.9)答：是指算法在执行过程中，某阶段所产生的小误差

3、在随后的阶段中不会被积累或放大，从而不会严重降低全部计算的精确度。3)试推导(按定义或利用近似公式):计算时的相对误差约等于的相对误差的3倍。(参考书P.7例1.2.3)第17页(共17页)4)计算球体积时,为使其相对误差不超过0.3%,求半径的相对误差的允许范围。(见书P.7例1.2.3)注意，有两种解法，任选其一。5）计算下式时,为了减少乘除法次数,通常采用什么算法?将算式加工成什么形式?(参考书P.43习题1.9(1)及其答案)6)递推公式如果取(三位有效数字)作近似计算，问计算第17页(共17页)到时误差为初始

4、误差的多少倍？这个计算过程数值稳定吗？(本题略)二.插值问题:1)设函数在五个互异节点上对应的函数值为，根据定理，必存在唯一的次数（A）的插值多项式，满足插值条件(B).对此，为了构造Lagrange插值多项式,由5个节点作(C)个、次数均为(D)次的插值基函数为_（E），从而得Lagrange插值多项式为（F）,而插值余项=（G）。A.B.C.5D.4E.F.G.其中在与之间,2)试用三种方法求过三个离散点：A（0，1）、B（1，2）、C（2，3）的插值多项式。(方法一.见P.46例2.1.1方法二.利用Lagran

5、ge插值公式方法三.画图并根据定理分析)第17页(共17页)方法一：方法二：方法三：第17页(共17页)3）求函数在[0,1]上的近似一次插值多项式。(见习题2.4及答案.)4)由函数值表::123:0.367879441,0.135335283,0.049787068求的近似值.(解略)5)利用插值方法推导(本题略)三.拟合问题:1)对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是(A)和(B).(见教材P.98)2)对同一个量的多个近似值,常取其算术平均作为该量的近似值,这种做法的意义是什么?(答:在最小二乘意义下误差

6、最小)第17页(共17页)3)设有实验数据如下：1.361.731.952.2814.09416.84418.47520.963按最小二乘法求其拟合曲线。(解略)4)已知某试验过程中函数依赖于的试验数据如下：：4：0.81.51.82.0试按最小二乘法拟合出一个形如的经验公式。(见习题3.6本题取)5)设有实验数据如下：12344101826按最小二乘法拟合出一个形如的经验公式。(参考习题3.7.取)第17页(共17页)四.数值求积:1)写出数值求积公式的一般形式,指出其特点,并说明它对计算机的计算有什么意义?(答:下

7、见书P.130第7行)1)简述数值求积公式的”代数精度”的概念.(见书P.131定义4.1.1)3)插值型求积公式中,每个系数可用公式=(A)计算,它们之和=(B),其代数精度(C).又Newton-Cotes公式的一般形式为(D),其主要特点是(E),其Cotes系数之和=(F),其代数精度(G);(A.见书P.130公式(4.1.5)B.见书P.135公式(4.2.11)C.见书P.131定理4.1.1D.见书P.132公式(4.2.3)E.等距节点F.1.见书P.134公式(4.2.9)G.见书P.133第12-

8、13行)第17页(共17页)4)考察数值求积公式,直接指出:它是什么类型的公式?为使其精度尽可能高,应取什么确值?它是不是Gauss型公式?(见习题4.6及答案)5)求的近似值,试写出使用11个等分点函数值的求积公式(要求只列出数值公式,不需要求出具体结果)。(参见下面第7)小题)6)利用复化Simpson公式求积分的近似值（只需