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1、数值分析复习题一、填空Chapter1绪论近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有3位有效数字.用近似真值1000时，其有效数字有4位，已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值的绝对误差为。设是真值的近似值，则有 3 位有效数字。设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是，其绝对误差限是。当很大时，为防止损失有效数字，应该使。Chapter2插值方法设，则3。若则0。对,差商0。设，则差商1。已知y=f(x)的均差,,f[x4,x3,x2]=14，f[x0,x3,x2]=8,.那么均差f[x4,x2,x0]=9。（交换不变性）设有数据则其2次L
2、arange插值多项式为，2次拟合多项式为（最佳平方逼近可求）。？？？以n+1个整数点k(k=0,1,2,…,n)为节点的Lagrange插值基函数为(k=0,1,2,…,n)，则x。？？（注：，则有拉格朗日插值公式：22，即：）若是三次样条函数，则：a=_3_,b=_3_,c=0。三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,…,n，且满足S(x)在每个子区间[xk,xk+1]上是不超过三次的多项式。过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)=设有函数表如：，则可利用分段三次Hermite插值，其插值
3、多项式的次方为三次.？？Chapter3函数的最佳平方逼近无Chapter4数值积分与数值微分牛顿—柯特斯求积公式的系数和积分区间的长度（b-a）。（验证梯形、辛普森、科特斯公式满足）？？数值求积公式的代数精度为：2次代数精度。（依次将函数代入验证是否满足，可得代数精度）求积公式的代数精度为：3次代数精度。求积分的近似值，其辛卜生公式为.求积分的近似值，其复化梯形公式为设，则用梯形公式得近似值为n点高斯型求积公式其代数精度是2n-1。如5点高斯求积公式，其代数精度为9。Chapter5线性方程组的直接解法22能用高斯消元法求解的充要条件是A的各阶顺序主子式不为零（P113）,当满足条件
4、时(各阶顺序主子式不为零),可作LU分解,当满足条件时（A为n阶对称正定矩阵）,必有分解式,其中是对角元素为正的下三角阵。Chapter6线性方程组的迭代解法设，则17，设A＝，则＝20。设有矩阵，则10，。已知A＝，x＝，则45。设，，则：。方阵A的谱半径是指矩阵的条件数是指。非奇异矩阵A的条件数Cond(A)＝？？，A是病态是指条件数数值很大。？？已知 9。Chapter8非线性方程的数值解法解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数j(x)满足在有根区间内，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛。利用二分法求在上根的近似值，误差限为。设f(x)可微，则求方程x2=f(x)
5、根的牛顿迭代格式为。22求的近似值，其牛顿迭代格式为。求的近似值，其牛顿迭代格式是。求解方程的Newton迭代公式为，割线公式为。序列满足递推关系：，若有误差,这个计算过程不稳定。Chapter9常微分方程初值问题的数值解法微分方程数值解的几何意义是指用直线代替曲线。？？求解常微分方程处值问题的改进Euler（梯形法）公式为，它是二阶方法(二阶精度)。Euler法是一阶方法(一阶精度)。P218解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报---校正公式是。预报值：，校正值：。计算题Chapter1绪论无Chapter2插值方法一、求一个次数不高于4的多项式p4(x)，满足下列插值条件：解：设：
6、根据已知条件（五个未知数五个已知条件）解方程组可得：22即：二、设在上具有三阶连续导数，且，是区间的中点，是经过点的二次多项式。试证明对任意有，其中。证明：由于，是经过点则可以构造出二次牛顿插值或拉格朗日插值，其误差均为：本题中，，，其中：。所以：三、作一个三次多项式使满足：。解：为二次牛顿插值多项式，建立差商表，如下图所示：可得：，令则，因为，解得最后得满足条件的三次多项式：。四、对于积分，若取节点22试推导一个插值型求积公式，并用这个公式求的近似值。P74解：1、构造出三节点的拉格朗日插值多项式的基函数，如下：2、先计算系数，具体过程如下：然后构造出积分公式：3、根据构造的积分公式
7、，计算，具体过程如下：五、给定数据试求的3次Newton插值多项式，并写出插值余项。解：求解差商，如下表所示：22则：插值余项：Chapter3函数的最佳平方逼近一、已知观测数据（1，-5），（2，0），（4，5），（5，6），试用最小二乘法求形如的经验公式。（10分）解：二、求上的一次最佳平方逼近多项式及平方误差。解：取；；分别计算：根据代入求解得：即得：为在多项式集合的最佳平方逼近。平方误差：22三、设，试求的一次最佳平方逼近多项式，并估计
