【数学】江苏省淮安市淮海中学2014届高三模拟测试

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1、淮安市淮海中学高三年级三统模拟测试(一)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合，，，则▲．【答案】2.已知，其中i为虚数单位，则▲．【答案】3【解析】本题考查复数的四则运算．因为，所以，a＝1，b＝2，所以＝3．3．用系统抽样方法从名学生中抽取容量为的样本，将名学生随机地编号为，按编号顺序平均分为个组。若第组中用抽签的方法确定抽出的号码为，则第组抽取的号码为▲．3.【答案】4．从中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为▲．4.【答案】【解析】本题考查古典概型．基本事件总数为6，符合要求的事件数为4，故所求概率为．5．已知单

2、位向量满足，则的夹角为▲．5．【答案】【解析】本题考查平面向量的垂直和数量积的计算．因为，所以，即＝0，所以，，即，则的夹角为．6.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为▲13【答案】2057．已知实数，满足，则的最大值是▲．【答案】【解析】本题考查线性规划．可行域为三角形区域，最优解为．8、已知，，则▲．【答案】【解析】本题考查同角三角函数的基本关系和两角和（差）的正弦、余弦．根据题意，，所以，故，，因此．9、直线与圆心为的圆交于两点，直线的倾斜角分别为，则=▲．10．设为图象上任意一点，为在点处的切线，则坐标原点到距离的最小值为▲．11、已知椭圆方程为，、分别是椭圆长轴的两个端点，、

3、是椭圆上关于x轴对称的两点，直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为▲．【解析】本题考查椭圆的标准方程和几何性质．设，则，，可得，从而13．11．【答案】12．若，且，则的最大值是▲．12．【答案】【解析】由得，，所以，当且仅当时取到等号．12.已知a>0，b>0，函数f(x)＝x2＋(ab－a－4b)x＋ab是偶函数，则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为________．根据函数f(x)是偶函数可得ab－a－4b＝0，函数f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为ab.由ab－a－4b＝0，得ab＝a＋4b≥4，解得ab≥16(当且仅当a＝8，b＝2时等号成立)，即f(x)的图象与y轴交点

4、纵坐标的最小值为16.13．设函数，为公差不为的等差数列，若，则=▲．14.定义在上的函数满足是偶函数，且对任意恒有，又，则.答案：1二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）在中，的对边分别是，已知平面向量，，且．（1）求的值；（2）若，求边的值．15．【解析】（1）由题意，…………………………2分得………………………………………………4分13由于中，，………………………………5分∴………………………………………………………6分（2）由得………………………………7分即，…………9分得，，平方得………

5、……12分所以为正三角形，…………………………………………………14分16．（本小题满分14分）(2013·苏州质检)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知∠ACB＝90°，M为A1B与AB1的交点，N为棱B1C1的中点，(1)求证：MN∥平面AA1C1C；(2)若AC＝AA1，求证：MN⊥平面A1BC.证明　(1)连接AC1，因为M为A1B与AB1的交点，所以M是AB1的中点，又N为棱B1C1的中点．所以MN∥AC1，………………3分又因为AC1⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C.…………………………7分(2)因为AC＝AA1，所以四边形AA1C

6、1C是正方形，所以AC1⊥A1C，又AC1∥MN，所以A1C⊥MN.又因为ABCA1B1C1是直三棱柱，…………………9分所以CC1⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以CC1⊥BC11分又因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，因为CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，又AC1⊂平面AA1C1C，所以BC⊥AC1，因为MN∥AC1，所以MN⊥BC，又MN⊥A1C，又BC∩A1C＝C，所以MN⊥平面A1BC.……………14分17．（本小题满分14分）如图，ABCD是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带△ECF，其中动点13E、F分别在CD、BC上，且△ECF的周长为常数

7、a（单位：百米）．（1）求景观带面积的最大值；（2）当a=2时，请计算出从A点欣赏此景观带的视角（即EAF）．17．解析：（1）设，则（※）由基本不等式，………3分所以，△ECF的面积………………5分当且仅当时等号成立故景观带面积的最大值为………………………………………6分（2）记，,则故由（※）可得，，即…………………10分代入上式可得，=1所以故当时，视角为定值………………………………………………14分18．（本小题满分16分）