正定中学11届一轮复习学案 二项式定理、概率

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1、今天和明天之间有一段很长的时间，趁你还有精神的时候，学习迅速办事。——歌德高二下学期数学巩固复习学案二二项式定理、概率一、二项式定理1．二项式定理：，其中组合数叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在的展开式中，第r+l项的二项式系数为，第r+l项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各

2、项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？例1．（1）的展开式中常数项是____；（2）的展开式中的的系数为___；（3）数的末尾连续出现零的个数是____（答：3）；(4)展开后所得的的多项式中，系数为有理数的项共有____项；(5)若的值能被5整除，则的可取值的个数有____个；(6)若二项式按降幂展开后，其第二项不大于第三项，则的取值范围是；(7)函数的最大值是_______。2．二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：

3、当时，二项式系数C的值逐渐增大，当时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第＋1项）的二项式系数取得最大值。当n为奇数时，中间两项（第和＋1项）的二项式系数相等并同时取最大值。例2．（1）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为______；（2）在的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则＝____。（3）二项式系数的和：；-6-今天和明天之间有一段很长的时间，趁你还有精神的时候，学习迅速办事。——歌德。例3．（1）如果，则；（2）化简。1．赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为、“奇数(

4、偶次)项”系数和为，以及“偶数(奇次)项”系数和为。例4．（1）已知，则等于___；（2），则＋＝_____；（3）设,则_____。2．系数最大项的求法：设第项的系数最大，由不等式组确定。例5．求的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。3．二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。例6．（1）(0.998)5精确到0.001近似值为________；（2）被4除所得的余数为_____；（3）今天是星期一，10045天后是星期_____；（4）求证：能被6

5、4整除；（5）求证：二、概率(一)基本概型1．随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作。事件A的概率的范围：,不可能事件的概率为0，其中必然事件的概率为1(不可能事件和必然事件可看成随机事件的极端情况)。2．等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。如果一次试验中可能出现的结果有n个（即此试验由n个基本事件组成），而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率都是,这样的事件叫做等可能性事件。如果某个

6、事件A-6-今天和明天之间有一段很长的时间，趁你还有精神的时候，学习迅速办事。——歌德包含的结果有m个，那么事件A的概率。例7．抛掷一枚骰子，求向上的点数是奇数的概率。在此问题中，把骰子抛掷一次，就是一次试验，可能出现的结果有6种，每一种结果都是一个基本事件，在这个试验中，共有6个基本事件，即n＝6。事件A就是“向上的点数是奇数”，它包含3个结果，即m＝3。所以。1．互斥事件有一个发生的概率：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。A的对立事件记为(若A、B为对立事件，则A与、与、与B也是对

7、立事件。想一想，为什么？能举例说明吗？)。如果事件A、B互斥，那么事件A＋B发生（即A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即　对立事件的概率和等于1,即,由此可得到　例8．一个坛子中放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，一个黄球。把“从中摸出一个球，得到红球”叫做事件A，“从中摸出一个球，得到绿球”叫做事件B，“从中摸出一个球，得到黄球”叫做事件C。那么事件A、B就是互斥事件，A、B、C是彼此互斥事件，A＋B表示A、B中有一个发生，即“从中摸出一个球，得到红球或绿球”。于是，例9．一个坛子中

8、有10个大小相同的小球，其中有7个红球，3个绿球。把“从中摸出一个球，得到红球”记为事件D，把“从中摸出一个球，得到绿球”记为事件E。那么事件D、E就是对立事件。于是2．相互独立事件同时发生的概率事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两