二项式定理复习学案

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1、二项式定理复习学案1.化简：.2.在的展开式中，常数项是_________.143.在的展开式中，x2的系数是.354.的展开式中的一次项的系数为____________.2405.展开式中的的系数为_____________.-66.设，则被9除的余数是__________.0或77.在的展开式中，x7的系数是15，则实数的值为__________.8.在的展开式中倒数第项的系数为，则含有的项的系数为________.2109.设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若,则=_____

2、___.410.若,则=_____.-111.-181612.已知，，，且在的展开式中系数最大的项是常数项，则的取值范围是___________.13.已知二项式展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。解：二项展开式的通项公式为　　由此得二项展开式中末三项的系数分别为，，6　　依题意得　　注意到这里，故得n=8　　∴　　设第r+1项为有理项，则有x的幂指数为整数，　　∴r=0，4，8，　　∴这里T1，T5，T9为有理项，　　又由通项公式得：　　，　　，　　　　∴所求二项展开式中的有理项分别为，，14.已知的展开

3、式中奇数项的二项式系数之和等于512，求：(1).二项式系数最大的项；(2).系数的绝对值最大的项；(3).系数最大的项.解：由题意得　　∴n=10　　∴二项展开式的通项公式为　　（1）　　∵n=10，　　∴二项展开式共11项6　　∴二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大　　又　　∴所求二项式系数最大的项为　　（2）设第r+1项系数的绝对值最大，　　则有　　　　　　解之得，注意到，　　故得r=3　　∴第4项系数的绝对值最大　　∴所求系数绝对值最大的项为　　（3）由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，　　即在r取

4、偶数的各项内　　又r取偶数0，2，4，6，8，10时，相应的各项系数分别为　　，，，，，　　即分别为1，，，，　　由此可知，系数最大的项为第5项(r=4)，　　即615.已知，求(1)；(2)；(3)；(4)；(5).　解:1）可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解.　　从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0,　　∴(1-0)5=a0,∴a0=1.　　2）令x=1,则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5　又a0=1,∴a1+a2+a3+a4+a5=-2.　　3）令x=1，得a0+a1+a2+……+a5=-

5、1(*)　　　令x=-1,得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5(**)　　因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2　　　　4）联立(*),(**)两方程，解得a1+a3+a5=-122.　　5）　　因而

6、a0

7、+

8、a1

9、+……+

10、a5

11、即为(1+2x)5的展开式的所有系数和，　　∴　

12、a0

13、+

14、a1

15、+……+

16、a5

17、=(1+2)5=35=243.16.设展开式中的的系数是21，求展开式中的系数的最小值.分析：由条件得m+n=21，x2的项为，则因n∈N，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m

18、=10和n=11时，x2的系数最小17.求证：(1).能被整除；6(2)..（1）为利用二项式定理，对中的底数n变形为两数之和（或差）。　　∵，且，∴　　于是有　　　　　　　　　　（※）　　注意到，且，故，　　因此由（※）式知能被整除；　　（2）　　证法一（倒序相加法）：　　设　　　　　　　　　　　　　　　①　　注意到二项式系数的性质：　　将①式右边各项倒序排列：　　②　　①+②得　　=　　∴　　即　　证法二（分项求和法）：　　注意到左边各项的相同结构，且各项的通项：　　据此变形左边各项得6　　右边　　=　　=　　=　　=右边　　∴原

19、等式成立6