第四讲 函数的奇偶性和周期性

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1、第四讲函数的奇偶性和周期性要知道什么：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.抓基础：一、函数的奇偶性奇偶性定　义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数关于对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是奇函数关于对称二、周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个就叫做f(x)的最小正周期经典习题：

2、1．(教材习题改编)函数f(x)＝－x的图象关于(　　)A．y轴对称　　　　　　　B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)A．－B.C.D．－3．(教材习题改编)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为(　　)A．－1B．0C．1D．24．(教材习题改编)下列函数中，所有奇函数的序号是________．(1)f(x)＝2x4＋3x2；(2)f(x)＝x3－2x；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝x3＋1.5．(2011·广东高考)设函数f(x)＝x3cos

3、x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.考点一：函数奇偶性的判断[例1](2011·北京西城一模)下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是(　　)A．y＝2

4、x

5、　　　B．y＝x2－xC．y＝2xD．y＝x3训练题一：1.(2011·广东高考)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)A．

6、f(x)

7、－g(x)是奇函数B．

8、f(x)

9、＋g(x)是偶函数C．f(x)－

10、g(x)

11、是奇函数D．f(x)＋

12、g(x)

13、是偶函数2.(2012·青岛模拟)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则(　　)A．f(x)

14、与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数3．判断下列函数的奇偶性．(1)y＝＋；(2)f(x)＝考点二：函数奇偶性的应用[例2]　(2011·安徽高考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(　　)A．－3B．－1C．1D．3[例3]　(2012·烟台调研)设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式>0的解集为(　　)A．(－2,0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,0)∪(0,2)训练题二

15、：4．(2012·徐州模拟)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.5．(2012·皖南八校联考)已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)>f(2a)，则实数a的取值范围是________．考点三：函数的周期性及其应用[例4]　(2011·大纲版全国卷)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝(　　)A．－B．－C.D.训练题三：6．(2011·宝鸡模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　)A

16、．6B．7C．8D．97．(2011·南昌第一次模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋2f(3)，且f(－1)＝2，则(3)＝________，f(2011)＝________.8．(2012·临沂一模)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，则f(x)的周期为________．课外作业：一、选择题1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(　　)A．y＝－x3，x∈RB．y＝sinx，x∈RC．y＝x，x∈RD．y＝x，x∈R2．(2011·辽宁高考)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)A.B.C.D．13．设f(x

17、)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f(2011)＋f(2012)＝(　　)A．3　　　B．2C．1D．04．(2012·杭州月考)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋m(m为常数)，则f(－1)的值为(　　)A．－3B．－1C．1D．35．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)①y＝f