牛顿莱布尼茨之争

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1、牛顿莱布尼茨之争摘要：微积分的产生伴随着著名的牛顿莱布尼茨之争，虽然数百年来饱受争议，然而两人在数学上所做出的成就不容置疑。清楚微积分学的内容，了解微积分产生的背景及两人所运用的方法和做出的贡献。关键词：微积分流数术积分导数争论牛顿莱布尼茨贡献进入大学，我们开始慢慢地接触微积分，然而我们只是对书本上的那些字符和定义了解的一清二楚，而对真正的微积分是什么，从哪里来却毫不知情。只有明确了微积分的产生与发展才更有利于我们学好以后的微积分。从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下

2、面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。还有中国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。而极限是微分学的基础。当步入到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积

3、、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。数学家和科学家们迫切地希望解决这些问题，法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献。随后出场的两位数学家成功地完成了微积分学的创立过程，他们就是我们所熟知的牛顿和莱布尼茨。而就是微积分，还引发了数学史上著名的公案——牛顿莱布尼茨之争。1665年，牛顿在三大运动定律、万有引力定律和光学的研究都开始于这个时期。在研究这些问题过程中他发现了他称为“流数术”的微积分。他在1666年写下了一篇关于流数术的短文，之后又写了几篇有

4、关文章。但是这些文章当时都没有公开发表，只是在一些英国科学家中流传。然而首次发表有关微积分研究论文的是德国哲学家莱布尼茨。莱布尼茨在1675年已发现了微积分，但是也不急于发表，只是在手稿和通信中提及这些发现。1684年，莱布尼茨正式发表他对微分的发现。两年后，他又发表了有关积分的研究。在瑞士人伯努利兄弟的大力推动下，莱布尼茨的方法很快传遍了欧洲。到1696年时，已有微积分的教科书出版。之后引发了两位大数学家对微积分发现权的争夺。有人说莱布尼茨看过牛顿流数术的手稿，并将其内容改成其发明的微积分符号表示，但又有人认为牛顿和莱布尼茨是不同思路创建微积分学的，牛顿是解决运动问题，先有导数概念后

5、有积分的概念，他只把微积分当成研究物理的数学工具；莱布尼茨则反过来，受其哲学思想的影响，先有积分概念，后有导数概念。而莱布尼茨则意识到了微积分将会给数学带来一场革命。这些似乎又表明莱布尼茨是自己独立地创建微积分的。无论如何两个人都对微积分学发展做出重要的贡献，因此正如书上写的，将他们共同列为微积分的创建者。这就是微积分的创立。然而牛顿和莱布尼兹的工作都很不完善，他们在无穷小这个问题上含糊不清，牛顿的无穷小量有时候是零，有时候不是零时有限小量，而莱布尼兹也不能自圆其说，这是很严重的缺陷。直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经

6、过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。那到底什么是微积分呢？早在古希腊时期，欧多克索斯就提出了穷竭法。这是极限理论的先驱，它指出“一个量如果减去大于其一半的量，再从余量中减去大于该余量一半的量，这样一直下去，总可使某一余量小于已知任何量”随后阿基米德亚里士多德开普勒巴罗等都对无限有一定研究。而牛顿的流数术源于两个重要的问题：如何求已知曲线的切线，如何确定曲线下方的面积。1665年他开始记载流数术，他称连续变量为流动量，流动量的倒数为流动率。牛顿在流数术中陈述所研究的基本问题是“已知量的关系要算出它们的流数以及反过来”牛顿完

7、整地提出微分和积分是一对逆运算，并且指出了换算公式，这就是牛顿莱布尼茨公式——若函数f(x）在[a,b]上连续，且存在原函数F(x），则f(x）在[a,b]上可积，且b（上限）∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)证明：我们知道，对函数f(x)于区间【a,b】上的定积分表达为：b(上限)∫a（下限）f(x)dx现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(x)dx但是这里x出现了两