深入理解拉格朗日乘子法

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1、深入理解拉格朗日乘子法（LagrangeMultiplier)和KKT条件分类： 机器学习2012-09-2217:05 24326人阅读 评论(15) 收藏 举报在求取有约束条件的优化问题时，拉格朗日乘子法（LagrangeMultiplier)和KKT条件是非常重要的两个求取方法，对于等式约束的优化问题，可以应用拉格朗日乘子法去求取最优值；如果含有不等式约束，可以应用KKT条件去求取。当然，这两个方法求得的结果只是必要条件，只有当是凸函数的情况下，才能保证是充分必要条件。KKT条件是拉格朗日乘子法的泛化。之前学习的时候，只知道直接应用两个方法，但是却不知道为什么拉格朗日乘子法（Lag

2、rangeMultiplier)和KKT条件能够起作用，为什么要这样去求取最优值呢？本文将首先把什么是拉格朗日乘子法（LagrangeMultiplier)和KKT条件叙述一下；然后开始分别谈谈为什么要这样求最优值。一. 拉格朗日乘子法（LagrangeMultiplier)和KKT条件通常我们需要求解的最优化问题有如下几类：(i)无约束优化问题，可以写为:                   minf(x); (ii)有等式约束的优化问题，可以写为:                    minf(x),                       s.t.h_i(x)=0;i=1,.

3、..,n (iii)有不等式约束的优化问题，可以写为：                   minf(x),                       s.t.g_i(x)<=0;i=1,...,n                         h_j(x)=0;j=1,...,m对于第(i)类的优化问题，常常使用的方法就是Fermat定理，即使用求取f(x)的导数，然后令其为零，可以求得候选最优值，再在这些候选值中验证；如果是凸函数，可以保证是最优解。对于第(ii)类的优化问题，常常使用的方法就是拉格朗日乘子法（LagrangeMultiplier)，即把等式约束h_i(x)用一个

4、系数与f(x)写为一个式子，称为拉格朗日函数，而系数称为拉格朗日乘子。通过拉格朗日函数对各个变量求导，令其为零，可以求得候选值集合，然后验证求得最优值。对于第(iii)类的优化问题，常常使用的方法就是KKT条件。同样地，我们把所有的等式、不等式约束与f(x)写为一个式子，也叫拉格朗日函数，系数也称拉格朗日乘子，通过一些条件，可以求出最优值的必要条件，这个条件称为KKT条件。(a) 拉格朗日乘子法（LagrangeMultiplier)对于等式约束，我们可以通过一个拉格朗日系数a把等式约束和目标函数组合成为一个式子L(a,x)=f(x)+a*h(x),这里把a和h(x)视为向量形式，a是横

5、向量，h(x)为列向量，之所以这么写，完全是因为csdn很难写数学公式，只能将就了.....。然后求取最优值，可以通过对L(a,x)对各个参数求导取零，联立等式进行求取，这个在高等数学里面有讲，但是没有讲为什么这么做就可以，在后面，将简要介绍其思想。(b) KKT条件对于含有不等式约束的优化问题，如何求取最优值呢？常用的方法是KKT条件，同样地，把所有的不等式约束、等式约束和目标函数全部写为一个式子L(a,b,x)=f(x)+a*g(x)+b*h(x)，KKT条件是说最优值必须满足以下条件：1.L(a,b,x)对x求导为零；2.h(x)=0;3.a*g(x)=0;求取这三个等式之后就能得

6、到候选最优值。其中第三个式子非常有趣，因为g(x)<=0，如果要满足这个等式，必须a=0或者g(x)=0.这是SVM的很多重要性质的来源，如支持向量的概念。二.为什么拉格朗日乘子法（LagrangeMultiplier)和KKT条件能够得到最优值？为什么要这么求能得到最优值？先说拉格朗日乘子法，设想我们的目标函数z=f(x),x是向量,z取不同的值，相当于可以投影在x构成的平面（曲面）上，即成为等高线，如下图，目标函数是f(x,y)，这里x是标量，虚线是等高线，现在假设我们的约束g(x)=0，x是向量，在x构成的平面或者曲面上是一条曲线，假设g(x)与等高线相交，交点就是同时满足等式约束

7、条件和目标函数的可行域的值，但肯定不是最优值，因为相交意味着肯定还存在其它的等高线在该条等高线的内部或者外部，使得新的等高线与目标函数的交点的值更大或者更小，只有到等高线与目标函数的曲线相切的时候，可能取得最优值，如下图所示，即等高线和目标函数的曲线在该点的法向量必须有相同方向，所以最优值必须满足：f(x)的梯度=a*g(x)的梯度，a是常数，表示左右两边同向。这个等式就是L(a,x)对参数求导的结果。（上述描述，我不知道描述清楚没