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1、第四篇非完整系统动力学东北大学理学院应用力学研究所李永强1第八章拉格朗日乘子法东北大学理学院应用力学研究所李永强2第八章拉格朗日乘子法§8.1Lagrange第一类方程§8.2罗司(Routh)方程3§8.1Lagrange第一类方程Lagrange第一类方程：应用数学分析中的乘子法，采用直角坐标形式的动力学普遍方程和约束方程而建立的一组动力学方程。适用于完整系统。1)Lagrange乘子法函数u=f(M)，M(x1,x2,…,xn)在用一组等式或不等式给出的约束条件下求极值，称为条件极值，令设约束条件为等式Lagrange乘子法：引进m个拉格朗日乘子λ；建立Lagrange
2、函数为求此n+m个变元的函数的无约束条件的极值，可由方程组求出x1,x2,…,xn,1,2,…,m。4§8.1Lagrange第一类方程2)Lagrange第一类方程质点系由n个质点组成，有d个完整约束，g个非完整约束，约束方程为上述约束方程的变分(约束条件)必须满足动力学普遍方程在3n个直角坐标的变分中δxi(i=1,2,…,3n)中，由于存在d+g个约束，因此独立的坐标变分数为3n-d-g个，至于系统中哪些是独立的坐标变分，则可以任意选择。5§8.1Lagrange第一类方程完整与非完整约束可以写成统一形式：对于完整系统(γ=1,2,…,d)。引入与约束个数相同的算
3、子λγ与约束方程相乘并求和，并与动力学普遍方程相加，得出式中λγ称为待定乘子或Lagrange待定乘子。这样就把全部约束加于虚位移的限制条件完全嵌入动力学的基本方程。显然，上式中的δxi是非独立的，如果选取d+g个待定乘子λγ，使得上式中d+g个不独立的坐标变分前的系数等于零，从而剩下3n-d-g个独立的坐标变分。对于独立的坐标变分，其坐标变分前的系数亦应等于零。因此，可以得到3n个方程，即6§8.1Lagrange第一类方程这就是Lagrange第一类方程3解法：联合共有3n+d+g个方程，可写出3n个坐标x1,x2,…,x3n,d+g个乘子λγ。Lagrange第一类方程
4、既适用于完整系统，也适用于非完整系统。7§8.1Lagrange第一类方程4Lagrange乘子的物理意义假设质点系仅受一个含时间的几何约束，则Lagrange第一类方程写成如上述约束所引起的对第i个质点的约束反力为Ni，则由达朗伯原理，存在:比较可得由此可以看到约束力与Lagrange乘子的关系。由于系统的约束为理想约束，故在动力学普遍方程中不存在约束力，而在Lagrange第一类方程中约束力通过待定乘子被引入到方程中。当对于实际问题需要计算约束力时，Lagrange第一类方程则开辟了用分析方法求解这类问题的途径。8§8.1Lagrange第一类方程例8-1图示系统中，A为
5、小球，可以视作质点，质量为m，OA为一长l、质量不计的直杆，BC为长h的软绳，O为球铰链，OB=b。平衡时，OA在水平位置而BC在铅垂位置。求小球A的运动微分方程。解：小球具有一个自由度，设A的坐标为(x1,x2,x3)，则B的坐标为(bx1/l,bx2/l,bx3/l)，C的坐标为(b,h,0)。约束方程为系统为完整系统。9§8.1Lagrange第一类方程小球A受到的主动力为重力，沿负x2轴方向，即有F1=F3=0，F2=-mg系统的完整约束的个数d=2，代入Lagrange第一类方程可得10§8.1Lagrange第一类方程例8-2质量为m1的质点A，放在倾角为α、质量
6、为m2的三角形楔块的斜边上，楔块又可在水平面上滑动。不计摩擦，适用Lagrange第一类方程求质点和楔块的加速度以及它们所受的约束力。解：系统的约束方程则主动力11§8.1Lagrange第一类方程由Lagrange第一类方程得可解得:则约束力12§8.1Lagrange第一类方程知识补充：求泛函的条件极值的Lagrange算子法求泛函的满足条件(a为已知数)且二端点A(x0,y0)，B(x1,y1)固定的极值曲线y(x)。Lagrange乘子法构造辅助函数其中λ为Lagrange乘子。使满足上述条件泛函极值问题化为无约束条件的极值问题Euler方程为由Euler方程边界条件
7、及约束条件可求解及λ值13§8.2罗司(Routh)方程RouthEq．要解决的问题1）Lagrange第一类方程是以直角坐标描述系统运动，各坐标为非独立；除了要考虑运动约束外还要考虑几何约束；2）RouthEq．选用广义坐标，系统的参数减少，坐标独立，可不考虑几何约束，仅考虑运动约束，减少方程中变量数。设系统中同时受到d个完整约束和g个非完整约束，系统的自由度数目k=3n-d，确定系统位形的广义坐标为q1,q2,…,qk。由于k个广义坐标是互相独立的，则d个完整约束已被削去。用广义坐标表示的g个非完整
