约束优化算法：拉格朗日乘子法

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1、拉格朗日乘子法约束优化问题的标准形式为：约束优化算法的基本思想是：通过引入效用函数的方法将约束优化问题转换为无约束问题，再利用优化迭代过程不断地更新效用函数，以使得算法收敛。1.罚函数法罚函数法（内点法）的主思想是：在可行域的边界上筑起一道很高的“围墙”，当迭代点靠近边界时，目标函数陡然增大，以示惩罚，阻止迭代点穿越边界，这样就可以将最优解“挡”在可行域之内了。它只适用于不等式约束：它的可行域为：对上述约束问题，其其可行域的内点可行集的情况下，引入效用函数：、其中或算法的具体步骤如下：给定控制误差，惩罚因子的缩小系数。步骤1：令，

2、选定初始点，给定（一般取10）。步骤2：以为初始点，求解无约束其中或，得最优解步骤3：若，则为其近似最优解，停；否则，令，转步骤2.1.拉格朗日乘子法（1）算法：（约数为等式的情况引入）效用函数为判断函数为当时迭代停止。步骤1：选定初始点，初始拉格朗日乘子向量，初始罚因子及其放大系数，控制误差与常数，令。步骤2：以为初始点，求解无约束问题：得到无约束问题最优解步骤3：当时，为所求的最优解，停；否则转步骤4.步骤4：当时，转步骤5；否则令，转步骤5.步骤5：令，转步骤1。（2）算法（一般约束形式的松弛变量法和指数形式法）松弛变量法：

3、乘子的修正公式为：判断函数为：当时迭代停止。1.乘子法MATLAB程序及其作用3.1函数3.1.1程序（1）：乘子法效用函数程序函数功能：将约束优化问题，根据效用函数方法，将其转变成无约束问题。functionf=AL_obj(x)%拉格朗日增广函数%N_equ等式约束个数%N_inequ不等式约束个数globalr_alpenaN_equN_inequ;%全局变量h_equ=0;h_inequ=0;[h,g]=constrains(x);%等式约束部分fori=1:N_equh_equ=h_equ+h(i)*r_al(i)+(p

4、ena/2)*h(i).^2;end%不等式约束部分fori=1:N_inequh_inequ=h_inequ+(0.5/pena)*(max(0,(r_al(i)+pena*g(i))).^2-r_al(i).^2);end%拉格朗日增广函数值f=obj(x)+h_equ+h_inequ;1.1.2程序（2）：判断函数函数功能：判断是否符合约束条件%%thecomparefunctionisthestopconditionfunctionf=compare(x)globalr_alpenaN_equN_inequ;h_equ=0

5、;h_inequ=0;[h,g]=constrains(x);%等式部分fori=1:N_equh_equ=h_equ+h(i).^2;end%不等式部分fori=1:N_inequh_inequ=h_inequ+(max(-g(i),r_al(i+N_equ)/pena)).^2;endf=sqrt(h_equ+h_inequ);1.1.3程序（3）AL算法主程序函数功能：对无约束的效用函数利用拟牛顿算法求解其最优解，更新乘子。function[X,FVAL]=AL_main(x_al,r_al,N_equ,N_inequ)%本

6、程序为拉格朗日乘子算法示例算法%函数输入：%x_al:初始迭代点%r_al：初始拉格朗日乘子%N-equ:等式约束个数%N_inequ:不等式约束个数%函数输出%X：最优函数点%FVAL:最优函数值%============================程序开始================================globalr_alpenaN_equN_inequ;%参数（全局变量）pena=10;%惩罚系数c_scale=2;%乘法系数乘数cta=0.5;%下降标准系数e_al=0.005;%误差控制范围max_i

7、tera=25;out_itera=1;%迭代次数%===========================算法迭代开始=============================whileout_itera

8、tpoint');breakend%c判断函数下降度ifcompare(x_al)