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《鲁棒控制理论与应用 第五章 系统的稳定性和鲁棒性能分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、鲁棒控制理论与应用第五章系统的稳定性和鲁棒性能分析第五章系统的稳定性和鲁棒性能分析第五章系统的稳定性和鲁棒性能分析5.1BIBO稳定性对实际工程中的动态系统来讲，稳定性是最基本的要求。一般的稳定性含义有两个。一个是指无外部信号激励的情况下，系统的状态能够从任意的初始点回到自身所固有的平衡状态的特性。另一种定义是指在有外部有界的信号激励下，系统的状态，或输出，响应能够停留在有界的范围内。对于线性系统，这两个稳定性定义是等价的，但是对一般的非线性系统则不是等价的。前者称为Lyapunov稳定，而后者称
2、为BIBO稳定。本小节我们先考虑BIBO稳定性。假设系统H由如下状态方程来描述：H：?&=f(x,u)?x(5.1.1)?y=h(x,u)n如图5.1.1所示，x(t)∈R是系统的内部状态，u和y分别是外部输入信号和输出信号。设输入信号u属于某一个可描述的函数空间U。那么，对于任意u∈U，系统H都有一个输出响应信号y与之对应，为了简单起见，记其对应关系为y=———————————————————————————————————————————————Hu(5.1.2)显然，系统Σ对应于u∈
3、U的输出响应信号的全体同样地构成一个空间，记为Y。因此，从数学的意义上讲，系统H实际上是输入函数空间U到输出函数空间Y的一个映射或算子。这也表明，我们可以更加严格地使用算子理论来研究系统H的性质。定义5.1.1设u(t)为关于时间t∈[0,∞)的函数，则u(t)的截断UT(t)的定义为uT(t)=??u(t),0≤t≤T(5.1.3)t>T?0,定义5.1.2若算子H满足(Hu)T=(HuT)T(5.1.4)则称算子H是因果的。而式(5.1.4)称为因果律。因果算子的物理意义很明确，即T时刻
4、的输入u(t)(t>T)并不影响T时刻以前的输出响应(Hu)T。定义5.1.3设算子H满足(HU)T∈Lp,?uT∈Lp。若存在常数γ≥0和b>0，使得?T∈[0,∞)，不等式(Hu)T≤γuT+b,?u∈Lp(5.1.5)5－1第五章系统的稳定性和鲁棒性能分析成立，则称算子H是L?稳定的。其中?表示函数空间的Lp范数。定理5.1.1若算子H满足因果律，且是L-稳定的，则对任意u∈———————————————————————————————————————————————Lp，有Hu
5、∈Lp且Hu≤γu+b(5.1.6)该定理的证明只要在式(5.1.5)中令T→∞，并根据H的因果律即可得证。定义5.1.4对于算子，若存在两个常数γ≥0和b>0，使得Hu≤γu+b,?u∈L∞(5.1.7)成立，则称算子H是BIBO稳定的。显然BIBO稳定意味着算子H对任何一个有界输入的激励都将产生一个有界的输出响应。由于范数的等价性，因此表示BIBO稳定的不等式(5.1.7)并不局限于L∞空间或∞?范数。实际上，只要输入信号在某种范数意义下有界时，输出信号也在同一范数意义下是有界的，则可称
6、该系统是BIBO稳定。研究线性系统&=Ax+Bux(5.1.8)y=Cx其中A∈Rn×n,B∈Rn,CT∈Rn，x(0)=x0表示系统的初始状态。定理5.1.2如果系统(5.1.8)的系统矩阵A特征值全部具有负实部，则系统是BIBO稳定的。综上所述，如果系统是BIBO稳定的，那么在有界的输入下，系统的输出响应应能保持有界。但是，这里并未涉及系统的内部状态变量x的有界性。显然，若系统输出有界当且仅当内部状态有界，那么，BIBO稳定性同样能保证系统内部状态的有界性。但是对于一般的情况，这个结论
7、并不成立。———————————————————————————————————————————————5.2Lyapunov稳定性定理5.2.1Lyapunov稳定性定义考虑由方程&=f(x,t),xx(t0)=x0(5.2.1)描述的非线性系统。式中x∈Rn是状态变量，t∈R表示时间。不失一般性设x*=0是系统的平衡点。并记系统(5.2.1)对应于初始条件x(t0)=x0的解为x(t)=φ(t;t0,x0)(5.2.2)显然，对于平衡点x*=0，有φ(t,t0,0)=0。不加任何解释，
8、我们首先给出Lyapunov稳定性的几个定义。定义5.2.1如果对于任意给定的及初始时刻t0≥0，存在一个常数δ=δ(ε,t0)>0，使得对任5－2第五章系统的稳定性和鲁棒性能分析意满足x0<δ的初始条件x0，方程(5.2.1)的解满足(t;t0,x0)<ε,?t≥t0(5.2.3)则称系统(5.2.1)的平衡点x*=0是Lyapunov意义下稳定的。而与t0无关，则称x*=0是一致渐近稳定的。定义5.2.2如果在定义5.2.1中，δ＝δ（ε）定义5.2.3如果系
