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1、三角函数例1：求的值解：例2：已知tan(α-β)=1/2,tanβ=-1/7且α、β∈（0，π）求2α-β的值。分析：要求2α-β的值，只需要先求出角2α-β的某一个三角函数值，再结合2α-β的范围来确定该角的大小，但是由于条件中所给角α、β的范围较大，但α、β实际上仅仅是一个确定的角，所以解这类习题常常需要先根据已知条件把角的范围进一步缩小，最好能使2α-β恰好在所求的三角函数的某一单调区间内，否则若2α-β的范围过大往往会出现多解，从而把不满足条件的角也包含进去了。解：tanα=tan[(α-β)+β]=，∴α∈（0，）tanβ=-∴β∈（π），∴2
2、α-β∈（-π，0）tan2(α-β)=∴tan(α-β)=tan[2(α-β)+β]==1所以2α-β=-例3：已知tan2θ=-2，θ∈（），求：的值。解：原式=∵tan2θ=-2,2θ∈(,π),令2θ终边上一点为的坐标P(x,y),设y=2,x=1,则r=3∴cos2θ=,sinθ=所以原式=例4：化简：解：∵tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)说明：这里实际上是运用的两角和（差）的正切公式tan(α+β)=变形，把tanα+tanβ用α+β的正切及tanα·tanβ来表示，这类问题在三角求值问题中也常遇到，如求tan(15
3、°-α)tan(75°-α)+tan(15°-α)·tan2α+tan(75°-α)·tan2α的值等等。例5：已知，且，求cosα解：∵sinα+sin3α=2sin2α·cosαcosα+cos3α=2cos2α·cosα∴sin2αsinα=-4cosα·cos2α∵∴cosα≠0∴2sin2α=-cos2α即3cos2α=1∴cosα=-例6：已知5sinβ=sin(2α+β),求证分析：从角的关系入手，首先考虑结论中的两个角是α+β，α，而已知条件中的两个角可以用α+β，α来表示，然后再运用两角和差的正余弦公式即可。证明：∵5sinβ=sin(2
4、α+β)∴5sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]∴5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα即4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα∴例7：在ΔABC中，已知sinA=3/5,cosB=5/13，求cosC的值。分析：由于三角形内角和为180°,所以求cosC的值即求-cos(A+B)的值，由cosB=5/13可知sinB=12/13但由sinA=3/5可得cosA=±4/5，在这里到底是两种情形都存在，还是只有一种情形，我们要加以判别，这是此题的关键所在。方法一
5、：∵sinA=∈∴A∈（30°，45°）∪（135°，150°）又cosB=∴B∈(60°,90°)，此时若A∈(135°,150°)则A+B>180°不能构成三角形，A∈(30°,45°)∴cosC=cos(180°-A-B)=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=16/65方法二:∵sinA=3/5,∴cosA=±4/5cosB=5/13∴sinB=12/13⑴若cosA=-4/5,则sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=-33/65<0不合题意⑵若cosA=4/5,则cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-
6、cosAcosB=16/65,综上所述：cosC=16/65例8：求函数f(x)=的最大值。分析：此题看上去似乎是一个代数中无理函数求最值的习题，但直接假设是不可能求出解的，这时我们可以先注意函数f(x)的定义域x∈[-2,2]，即x/2∈[-1,1]，由三角函数的性质可以设x/2=cosθ,θ∈[0,π],这样就把代数最值问题转化为三角最值问题了，从而使问题很快解决。解：∵4-x2≥0∴-2≤x≤2,令x=2cosθθ∈[0,π]则f(x)=cosθ-2+=2sinθ+cosθ-2=sin(θ+φ)-2其中tanφ=1/2,φ=arctan1/2,此时a
7、rctan1/2≤θ+φ≤π+arctan1/2∴sin(θ+ф)的最大值为1当θ+φ=π/2即θ=π/2-arctan1/2时“=”成立∴f(x)≤-2即f(x)的最大值为-2【每周一练】一、选择题：1、若tan(α+β)=2/5tan(β-π/4)则tan(α+π/4)的值为（）A、B、C、D、2、ΔABC中，A>B是sinA>sinB的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3、已知tanα=1/7,tanβ=1/3,α、β均为锐角，则α+2β的值是：（）A、B、C、D、4、已知cotα=2，tan(α-β)=-，
8、则tan(β-2α)等于（）A、B、-C、C、-5、若sin4θ+
