2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数教学案 新人教a版选修2-2

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1、1．3.1　函数的单调性与导数预习课本P22～26，思考并完成下列问题(1)函数的单调性与导数的正负有什么关系？　(2)利用导数判断函数单调性的步骤是什么？　(3)怎样求函数的单调区间？　1．函数的单调性与其导数正负的关系在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数．[点睛]　对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明(1)若在某区间上有有限

2、个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的快，其图象比较陡峭．即

3、f′(x)

4、越大，则函数f(x)的切线的斜率越大，函数f(x)的变化率就越大．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有

5、f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　)(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　)(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)11A．(－∞，2)　　　　　　　　　B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)答案：D3．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上(　　)A．是增函数B．是减函数C．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递

6、减D．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增答案：A4.函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．答案：上升判断或讨论函数的单调性[典例]　已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f(x)的单调性．[解]　由题设知a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3ax，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.当a>0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0.∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．若x∈，则f′(x)<0，∴f(x)在区间上为减函数．若x∈，则

7、f′(x)>0，∴f(x)在区间上是增函数．当a<0时，若x∈，则f′(x)<0.11∴f(x)在上是减函数．若x∈，则f′(x)>0.∴f(x)在区间上为增函数．若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0.∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．　　利用导数证明或判断函数单调性的思路[活学活用]判断函数y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．解：∵y′＝(ax3－1)′＝3ax2.①当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增；②当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减；③当a＝0时，y′＝0，函数在R上

8、不具备单调性.求函数的单调区间[典例]　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－3x＋1；(2)f(x)＝x＋(b＞0)．[解]　(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0.即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，11f′(

9、x)＝′＝1－，令f′(x)＞0，则(x＋)(x－)＞0，∴x＞，或x＜－.∴函数的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)．令f′(x)＜0，则(x＋)(x－)＜0，∴－＜x＜，且x≠0.∴函数的单调递减区间为(－，0)和(0，)．(1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f′(x)；③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；④根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不

10、能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．　　　　　　[活学活用]1．函数f(x)＝2x2－lnx的递增区间是(　　)A.　　　　　B.和C.D.和解析：选C　∵f(x)＝2x2－lnx，∴f′(x)＝4x－＝＝(x>0)，由f′(x)>0得x>.2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单