2018版高中数学人教b版选修2-2学案：1.3.2 利用导数研究函数的极值（二）

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1、2017-2018学年人教B版高中数学学案1．3.2　利用导数研究函数的极值(二)明目标、知重点　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3

2、．在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．4．极值与最值的意义(1)最值是在区间[a，b]上的函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间[a，b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值．[情境导学]极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题．探究点一　求函数的最值思考1　如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(

3、x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？答　f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值．72017-2018学年人教B版高中数学学案思考2　观察思考1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？答　函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)．若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值．思考3　函数的极值和最值有什么区别和联系？答　函数的最大值、最小值

4、是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．小结　求一个函数在闭区间上的最值步骤：(1)求导，确定函数在闭区间上的极值点．(2)求出函数的各个极值和端点处的函数值．(3)比较大小，确定结论．例1　求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；(2)f(x)＝x＋sinx，x∈[0,2π]．解　(1)f(x)＝2

5、x3－12x，∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增↗极大值单调递减↘极小值单调递增↗所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递减区间为(－，)．因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，f(－)＝8；所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；当x＝3时，f(x)取得最大值18.(2)f′(x)＝＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝π或x＝π.72017-2018学年人教B版高

6、中数学学案计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f(π)＝＋，f(π)＝π－.∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.反思与感悟　(1)求函数的最值，求极值是关键的一环．若仅是求最值，则简化为：①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大值、最小值在端点处取得．跟踪训练1　求下列函数的最值：(1)f(x)＝x3－4x＋4，x∈[0,3]；(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．解　(1)∵f(x)＝x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4.令f

7、′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.∵f(2)＝－，f(0)＝4，f(3)＝1，∴函数f(x)在[0,3]上的最大值为4，最小值为－.(2)∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)，∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝