2018版高中数学人教b版选修2-2学案：1.3.2 利用导数研究函数的极值（一）

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1、2017-2018学年人教B版高中数学学案1.3.2　利用导数研究函数的极值(一)明目标、知重点　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．1．极值点与极值已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)．并把x0称为

2、函数f(x)的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．2．求函数f(x)极值的方法第1步　求导数f′(x)；第2步　求方程f′(x)＝0的所有实数根；第3步　考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值．[情境导学]在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研

3、究的主要内容．探究点一　函数的极值与导数的关系思考1　如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？答　以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d72017-2018学年人教B版高中数学学案附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f

4、′(x)>0，右侧f′(x)<0.小结　思考1中点d叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(d)叫做函数y＝f(x)的极小值；点e叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(e)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．思考2　函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？答　函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个．思考3　若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．答　可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极

5、值点．可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)的符号不同．例如，函数f(x)＝x3可导，且在x＝0处满足f′(0)＝0，但由于当x<0和x>0时均有f′(x)>0，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．例1　求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值．解　f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)>0，得x<－2或x>2；由f′(x)<0，得－2

6、调递增↗由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝；当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.反思与感悟　求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果72017-2018学年人教B版高中数学学案左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．跟踪训练1　判断下列函数是否有极值，如果有极值

7、，请求出其极值；若无极值，请说明理由．(1)y＝8x3－12x2＋6x＋1；(2)y＝x

8、x

9、；(3)y＝1－(x－2).解　(1)∵y′＝24x2－24x＋6，令y′＝0，即24x2－24x＋6＝0，解得x＝，当x>时，y′>0；当x<时，y′>0.∴此函数无极值．(2)令y＝x

10、x

11、＝0，则x＝0，且y＝当x>0时，y＝x2是单调增函数；当x<0时，y＝－x2也是单调增函数．故函数y＝x

12、x

13、在x＝0处无极值．另外，∵当x>0时，y′＝2x，y′＝0无解，当x<0时，y′＝－2x，y′＝0也无解，∴