2018版高中数学人教b版必修四学案3.1.2 两角和与差的正弦

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1、3.1.2 两角和与差的正弦[学习目标] 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f(x)=asinx+bcosx的性质.[知识链接]1.cos(α+β)与cosα+cosβ相等吗?答 一般情况下不相等,但在特殊情况下也有相等的时候.例如,当α=60°,β=-60°时,cos(60°-60°)=cos60°+cos(-60°).2.你能结合三角函数诱导公式,由公式Cα+β或Cα-β推导出公式Sα-β吗?答 sin(α-β)=

2、cos=cos=coscosβ-sinsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.[预习导引]1.两角和与差的余弦公式Cα-β:cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β.Cα+β:cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β.2.两角和与差的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β.Sα-β:sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β.3.辅助角公式使asinx+bcosx=sin(x+φ)=cos(x-θ)成立时,cosφ=,sinφ=,sin

3、θ=,cosθ=,其中φ、θ称为辅助角,它的终边所在象限由点(a,b)决定.要点一 利用和(差)角公式化简8例1 化简下列各式:(1)sin+2sin-cos;(2)-2cos(α+β).解 (1)原式=sinxcos+cosxsin+2sinxcos-2cosxsin-coscosx-sinsinx=sinx+cosx+sinx-cosx+cosx-sinx=sinx+cosx=0.(2)原式====.规律方法 化简三角函数式的标准和要求:(1)能求出值的应求出值.(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少.(3)使三角函数式的次

4、数尽可能低.(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式.跟踪演练1 化简:(tan10°-).解 原式=(tan10°-tan60°)==·=·=-=-2.要点二 利用和(差)角公式求值8例2 若sin=,cos=,且0<α<<β<,求cos(α+β)的值.解 ∵0<α<<β<,∴<+α<π,-<-β<0.又∵sin=,cos=,∴cos=-,sin=-,∴cos(α+β)=sin=sin=sincos-cossin=×-×=-.规律方法 在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利

5、用角的代换化异角为同角.具体做法是:(1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.跟踪演练2 已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求cos2α与cos2β的值.解 ∵<β<α<,∴0<α-β<,π<α+β<.∴sin(α-β)===,cos(α+β)=-=-=-.∴cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=-×-×=-,8cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=c

6、os(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-×+×=-.要点三 公式的变形应用例3 已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,求的值.解 ∵sin(α+β)=,∴sinαcosβ+cosαsinβ=.①∵sin(α-β)=,∴sinαcosβ-cosαsinβ=.②由①,②解得sinαcosβ=,cosαsinβ=,∴===5.规律方法 本题考查了公式的变形应用.先结合所求结论特点,对已知进行变形,整体求值.而本题中化切为弦的求法更是巧妙,体会其中的解题思路.跟踪演练3 已知cosα=,sin(α-β)=,且α、

7、β∈.求:(1)cos(2α-β)的值;(2)β的值.解 (1)因为α、β∈,所以α-β∈,又sin(α-β)=>0,所以0<α-β<.所以sinα==,cos(α-β)==.cos(2α-β)=cos[α+(α-β)]=cosαcos(α-β)-sinαsin(α-β)=×-×=.(2)cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)8=×+×=,又因为β∈,所以β=.例4 化简下列各式:(1)3sinx+3cosx;(2)sin+cos.解 (1)3sinx+3cosx=6=6=6sin.(2)s

8、in+cos===sin=-sin.规律方法 辅助角公式asinx+bcosx=·sin(x+φ)可以把含sinx、cosx的一次式化为Asin(ωx+φ)的形式,其中φ所在象限由点(a,b)

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