等差数列和等比数列(数学)

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1、等差数列和等比数列知识网络　　　目标认知重点：　　1．灵活应用等差数列、等比数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系.　　2．掌握常见的求数列通项的一般方法；　　3．用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题难点：　　1．等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用；　　2．利用函数的观点去认识等差数列、等比数列的通项公式和求和公式，认识和理解数列与其它数学知　　　识之间的内在联系；　　3．用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题。知识要点梳理等差数列1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同

2、一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.注意：　(1)｛｝为等差数列(n∈N※)－=d(n2,n∈N※)（d为常数）　　(2)等差中项：若三个数a，x，b成等差，则x称为数a，b的等差中项。任意实数a，b的等差中项存在且唯一，为　　(3)证数列{}是等差数列的方法：①(n≥2)（d为常数）；②为和的等差中项。2．通项公式：(归纳法和迭加法)注意：①｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数=kn+b(n)②式中、、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。　　③公式特征：等差数列{}中=kn+b是关于n的一次函数(或常数函数)，一次项系数k为公差d。　　④

3、几何意义：点(n，)共线；=kn+b中，当k=d>0时，{}为递增数列；当k=d＜0时，{}为递减数列；当k=d=0时，{}为常数列。3．前n项和公式：　　；注意：①｛｝为等差数列为n的二次函数且常数项为0=+bn(n)　②式中有三个就可以利用方程得出余下的二个。4．性质：（1）等差中项：、、成等差数列，则；　　（2）通项公式的推广：　　（3）若，则；特别，若，则　　（4）等差数列中，若.　　（5）公差为d的等差数列中，连续k项和，…组成公差为k2d的等差数列。5.解题策略：　　（1）方程思想，（2）两式相加减，消元化简；等比数列1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一

4、项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.2．通项公式：　注意：①方程观点：知二求一；　　②函数观点：函数的图象上一群孤立的点；　　③当时，若，等比数列是递增数列；若，等比数列是递减数列；　　　当时，若，等比数列是递减数列；若，等比数列是递增数列；　　　当时，等比数列是摆动数列；　　　当时，等比数列是非零常数列。3．前项和公式：，公式的五个量中，知三可求二.4．等比数列及其前项和的主要性质：　　（1）等比中项：若、、成等比数列，则；　　（2）通项公式的推广：　　（3）若，则.　（4）等比数列中，若.　　（5）等比数列中，为前项和，成等比数列，且5

5、.解题策略：（1）方程思想，（2）两式相乘除化简；规律方法指导　　学习数列，要注意如下的基本思想方法：　　（1）分类讨论思想.如等比数列的求和分公比等于1和不等于1两种情形；已知数列前n项和求通项分n=1和n≥2两种情形.　　（2）函数思想.将数列视为定义域为自然数或其子集的函数.　　（3）数形结合思想.如等差数列的通项公式和前n项和公式分别视为直线、二次曲线的方程.　　（4）转化思想.如将非等差数列、非等比数列转化为等差数列、等比数列.　　（5）基本量思想.如把首项及公差、公比视为等差数列、等比数列的基本量.　　（6）构造思想.如由旧数列构造新数列.　　（7）特殊化思想.为研究

6、一般问题可先退化到特殊问题的研究.在这部分内容中，处处充满了由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证法，这就要求我们在思考问题时要用辩证的观点，由具体认识到抽象，由特殊窥见一般，由有限逼近无限.其中，常用的“归纳——猜想——证明”法就体现了这一点.　　（8）一般化思想.为研究一个特殊问题，我们先研究一般的情形.经典例题精析类型一：等差、等比数列的概念、公式、项的性质　　1、已知等差数列中，,，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。　　思路点拨：这是一个探索性问题，但由于在条件中已知两项的值，所以，在求解方法上，可以考虑运用方程思想求解基本量a1和

7、d，也可以利用性质求d，再就是考虑运用等差数列的几何意义。　　法一：法二：法三：　　2、（1）若数列为等差数列，,,求；　　　　　　（2）若数列为等比数列，,,求.　　（1）法一：　　　　法二：　　　　法三：　　法四：　　（2）法一：　　　　法二：　　　　法三：类型二：等差、等比数列的前n项和公式及其性质　　3、等差数列的前30项之和为50，前50项之和为30，求。　　法一：　　法二：　　法三：　　【变式1】设等差数列的前项和为，若，，则（）【变式2】等比数列中，，，则=____