镜像对称方法在物理解题中的应用

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1、镜像对称方法在物理解题中的应用陈征燕（椒江第一中学　浙江318000）平面镜成像时，像与物关于镜面成轴对称，这种对称是正立的（上、下关系不变），左右互换的。如“上”在平面镜中的像是“”，镜像对称体现了宇宙间一种对称美。由于平面镜是日常生活中最常见的光学器件，自然界更有众多的“平面镜”——平静的水平，因此，每个人对镜像对称都很熟悉。除逊色学问题外，其它物理问题中也有类似镜像对称的关系，我们可以把镜像对称的思想方法“移植”到其它与之相似的问题上。一、镜像对称在碰撞问题中的应用力学碰撞问题中，有一类情景为：小球倾斜与支持面碰撞，碰后小球无动能损失地反统弹如图1。由于支持面只能提供垂直方向上的

2、作用力，它使v1反向，而v2保持不变，因此以图1沿v0方向方向入射的小球将沿v′0反弹，这个速度关系与平面镜成像时的物像关系是相似的，所以在这类问题中可以利用镜像对称的方法来求解。[例1]如图2实线所示竖直增面M、N之间相距L，墙M的顶部有一小球以水平初速度v0抛出，它与N墙面发生一次碰撞后落在地面上A处，已知小球与墙面碰撞时无动能损失，求小球落地处在墙M的距离。分析与解：在图2中由于小球在P处在墙N碰撞，无动能损失。轨迹AP在“平面镜N”中的像PA′（见图虚线）与轨迹OP合在一起就形成小球平抛运动的轨迹，∴本题就可以采用平抛运动求解，二、镜像对称在全反射问题中的应用光学全反射问题中的

3、反射面与平面镜作用几乎是相同的，因此，用镜像对称的方法来解决全反射问题，有时也会很方便。[例2]如图3所示，一束光OP垂直BC边斜射向AB，经棱镜后在屏幕的ab段形成从红到紫的彩色光带ab，试确定a处光的颜色，作出从AC边上射出的红光与紫光光路。（假设所有色光在BC边上都能产生全反射）分析：对经过二次折射、一次全反射，色散后到达屏上的光束，在a处为红光，b处光紫光，这一结论多数学生能运用所学的光学知识正确分析。但对于从AC边上射出的光束应该与入射光OP平行，却觉得不可理解。如果将BC当作“平面镜”，作出CB上方的“像”（见图3（b）中虚线），则四面体ABA′C是平行玻璃砖，光束经平行玻

4、璃砖作用之后m′a′，q′b′与入射光束平行，∴出射光束ma∥qb∥op。三、镜像对称方法的拓展镜像对称的思想方法，除了可以直接应用于物理问题外，还可以拓展开来，应用于一些隐含着对称思想的问题，从而可使复杂问题简化。[例3]质量为M的盒子放在光滑的水平面上，盒内有一质量为m的小木块（可视作质点）以初速度v0从左端往右运动，木块与盒子间动磨擦因数为μ若盒子长度为L，木块能与盒壁发生多次碰撞，且碰撞时无动能损失，求木块与盒壁共能发生几次碰撞？分析与解：本题牵涉到木块与盒壁的多次碰撞，由于盒内磨擦力的作用，盒子与木块同时有运动，题目设置的情景比较复杂，使初次接触此类问题学生感到难以下手。但是

5、，由于条件中有“碰撞时无动能损失”，因此可以将碰撞时的盒壁当作“平面镜”。将木块与盒子碰后的运动“反映”到其“像”上，把例3问题转化成一个“具有足够长度的盒子，求木块在盒内的相对位移”问题，而这个问题就是典型的“子弹穿木块”问题，只要运用动量守恒和系统的动能定理：1995年的高考压轴题，也可以渗透镜像对称思想，使解题由难变易。[例4]如图5所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧人的序号都记为N（N=1、2、3……），每人只有一个沙袋。x＞0一侧的每个沙袋质量为m=14kg，x＜0一侧的每个沙袋质量为m′=10kg，一质量为M=48kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向前进，不

6、计轨道阻力，车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速度相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2N倍（N是此人的序号数）。（1）　空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行。（2）　车上最终有大小沙袋共多少个？分析与解：本题要采用递推关系，找出第（N-1）个沙袋扔入之后车子速度VN-1与第N个沙袋扔入之后车子速度vN之间的关系式，再根据车子反向（或停下）条件，确定VN-1与VN系数的关系，从而求出N。由于空车出发后往x正方向运动时，只需扔3个沙袋，车子就会反向，因此一些概括能力不高的学生就采用枚举法：扔一个沙袋求一次车速，最后也可以得出当N=3时，

7、车子就反向的结论。但如果学生只能用枚举法解题，就不能求出向x负方向运动时N′=8的答案。因此，我们引导学生把小车向x正方向运动的关系，从枚举法上升到递推公式，再运用对称的思想方法，求出小车向x负方向运动的情况。具体为：车子向x正方向运动，当扔入第一个沙袋后，车速为v1，则：扔第二个沙袋后，车速为v2，则扔第三个沙袋后，车速为v3，则分析v2与v3关系，递推出一般情况，当第N个沙袋扔入后有：当小车反向行驶时，在坐标原点放一“平面镜”，把小车经x负