镜像对称方法在物理解题中的应用

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时间:2018-08-06

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1、镜像对称方法在物理解题中的应用陈征燕(椒江第一中学 浙江318000)平面镜成像时,像与物关于镜面成轴对称,这种对称是正立的(上、下关系不变),左右互换的。如“上”在平面镜中的像是“”,镜像对称体现了宇宙间一种对称美。由于平面镜是日常生活中最常见的光学器件,自然界更有众多的“平面镜”——平静的水平,因此,每个人对镜像对称都很熟悉。除逊色学问题外,其它物理问题中也有类似镜像对称的关系,我们可以把镜像对称的思想方法“移植”到其它与之相似的问题上。一、镜像对称在碰撞问题中的应用力学碰撞问题中,有一类情景为:小球倾斜与支持面碰撞,碰后小球无动能损失地反统弹如图1。由于支持面只能提供垂直方向上的

2、作用力,它使v1反向,而v2保持不变,因此以图1沿v0方向方向入射的小球将沿v′0反弹,这个速度关系与平面镜成像时的物像关系是相似的,所以在这类问题中可以利用镜像对称的方法来求解。[例1]如图2实线所示竖直增面M、N之间相距L,墙M的顶部有一小球以水平初速度v0抛出,它与N墙面发生一次碰撞后落在地面上A处,已知小球与墙面碰撞时无动能损失,求小球落地处在墙M的距离。分析与解:在图2中由于小球在P处在墙N碰撞,无动能损失。轨迹AP在“平面镜N”中的像PA′(见图虚线)与轨迹OP合在一起就形成小球平抛运动的轨迹,∴本题就可以采用平抛运动求解,二、镜像对称在全反射问题中的应用光学全反射问题中的

3、反射面与平面镜作用几乎是相同的,因此,用镜像对称的方法来解决全反射问题,有时也会很方便。[例2]如图3所示,一束光OP垂直BC边斜射向AB,经棱镜后在屏幕的ab段形成从红到紫的彩色光带ab,试确定a处光的颜色,作出从AC边上射出的红光与紫光光路。(假设所有色光在BC边上都能产生全反射)分析:对经过二次折射、一次全反射,色散后到达屏上的光束,在a处为红光,b处光紫光,这一结论多数学生能运用所学的光学知识正确分析。但对于从AC边上射出的光束应该与入射光OP平行,却觉得不可理解。如果将BC当作“平面镜”,作出CB上方的“像”(见图3(b)中虚线),则四面体ABA′C是平行玻璃砖,光束经平行玻

4、璃砖作用之后m′a′,q′b′与入射光束平行,∴出射光束ma∥qb∥op。三、镜像对称方法的拓展镜像对称的思想方法,除了可以直接应用于物理问题外,还可以拓展开来,应用于一些隐含着对称思想的问题,从而可使复杂问题简化。[例3]质量为M的盒子放在光滑的水平面上,盒内有一质量为m的小木块(可视作质点)以初速度v0从左端往右运动,木块与盒子间动磨擦因数为μ若盒子长度为L,木块能与盒壁发生多次碰撞,且碰撞时无动能损失,求木块与盒壁共能发生几次碰撞?分析与解:本题牵涉到木块与盒壁的多次碰撞,由于盒内磨擦力的作用,盒子与木块同时有运动,题目设置的情景比较复杂,使初次接触此类问题学生感到难以下手。但是

5、,由于条件中有“碰撞时无动能损失”,因此可以将碰撞时的盒壁当作“平面镜”。将木块与盒子碰后的运动“反映”到其“像”上,把例3问题转化成一个“具有足够长度的盒子,求木块在盒内的相对位移”问题,而这个问题就是典型的“子弹穿木块”问题,只要运用动量守恒和系统的动能定理:1995年的高考压轴题,也可以渗透镜像对称思想,使解题由难变易。[例4]如图5所示,一排人站在沿x轴的水平轨道旁,原点O两侧人的序号都记为N(N=1、2、3……),每人只有一个沙袋。x>0一侧的每个沙袋质量为m=14kg,x<0一侧的每个沙袋质量为m′=10kg,一质量为M=48kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向前进,不

6、计轨道阻力,车每经过一人身旁时,此人就把沙袋以水平速度u朝与车速度相反的方向沿车面扔到车上,u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2N倍(N是此人的序号数)。(1) 空车出发后,车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行。(2) 车上最终有大小沙袋共多少个?分析与解:本题要采用递推关系,找出第(N-1)个沙袋扔入之后车子速度VN-1与第N个沙袋扔入之后车子速度vN之间的关系式,再根据车子反向(或停下)条件,确定VN-1与VN系数的关系,从而求出N。由于空车出发后往x正方向运动时,只需扔3个沙袋,车子就会反向,因此一些概括能力不高的学生就采用枚举法:扔一个沙袋求一次车速,最后也可以得出当N=3时,

7、车子就反向的结论。但如果学生只能用枚举法解题,就不能求出向x负方向运动时N′=8的答案。因此,我们引导学生把小车向x正方向运动的关系,从枚举法上升到递推公式,再运用对称的思想方法,求出小车向x负方向运动的情况。具体为:车子向x正方向运动,当扔入第一个沙袋后,车速为v1,则:扔第二个沙袋后,车速为v2,则扔第三个沙袋后,车速为v3,则分析v2与v3关系,递推出一般情况,当第N个沙袋扔入后有:当小车反向行驶时,在坐标原点放一“平面镜”,把小车经x负

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