镜像对称方法在物理解题中的应用

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1、镜像对称方法在物理解题中的应用陈征燕（椒江第一中学　浙江318000）平面镜成像时，像与物关于镜面成轴对称，这种对称是正立的（上、下关系不变），左右互换的。如“上”在平面镜中的像是“”，镜像对称体现了宇宙间一种对称美。由于平面镜是日常生活中最常见的光学器件，自然界更有众多的“平面镜”——平静的水平，因此，每个人对镜像对称都很熟悉。除逊色学问题外，其它物理问题中也有类似镜像对称的关系，我们可以把镜像对称的思想方法“移植”到其它与之相似的问题上。一、镜像对称在碰撞问题中的应用力学碰撞问题中，有一类情景为：小球倾斜与支持面碰撞，碰后小球无动能损失地反统弹如图1。由于支持

2、面只能提供垂直方向上的作用力，它使v1反向，而v2保持不变，因此以图1沿v0方向方向入射的小球将沿v′0反弹，这个速度关系与平面镜成像时的物像关系是相似的，所以在这类问题中可以利用镜像对称的方法来求解。[例1]如图2实线所示竖直增面M、N之间相距L，墙M的顶部有一小球以水平初速度v0抛出，它与N墙面发生一次碰撞后落在地面上A处，已知小球与墙面碰撞时无动能损失，求小球落地处在墙M的距离。分析与解：在图2中由于小球在P处在墙N碰撞，无动能损失。轨迹AP在“平面镜N”中的像PA′（见图虚线）与轨迹OP合在一起就形成小球平抛运动的轨迹，∴本题就可以采用平抛运动求解，二、镜

3、像对称在全反射问题中的应用光学全反射问题中的反射面与平面镜作用几乎是相同的，因此，用镜像对称的方法来解决全反射问题，有时也会很方便。[例2]如图3所示，一束光OP垂直BC边斜射向AB，经棱镜后在屏幕的ab段形成从红到紫的彩色光带ab，试确定a处光的颜色，作出从AC边上射出的红光与紫光光路。（假设所有色光在BC边上都能产生全反射）分析：对经过二次折射、一次全反射，色散后到达屏上的光束，在a处为红光，b处光紫光，这一结论多数学生能运用所学的光学知识正确分析。但对于从AC边上射出的光束应该与入射光OP平行，却觉得不可理解。如果将BC当作“平面镜”，作出CB上方的“像”（

4、见图3（b）中虚线），则四面体ABA′C是平行玻璃砖，光束经平行玻璃砖作用之后m′a′，q′b′与入射光束平行，∴出射光束ma∥qb∥op。三、镜像对称方法的拓展镜像对称的思想方法，除了可以直接应用于物理问题外，还可以拓展开来，应用于一些隐含着对称思想的问题，从而可使复杂问题简化。[例3]质量为M的盒子放在光滑的水平面上，盒内有一质量为m的小木块（可视作质点）以初速度v0从左端往右运动，木块与盒子间动磨擦因数为μ若盒子长度为L，木块能与盒壁发生多次碰撞，且碰撞时无动能损失，求木块与盒壁共能发生几次碰撞？分析与解：本题牵涉到木块与盒壁的多次碰撞，由于盒内磨擦力的作用

5、，盒子与木块同时有运动，题目设置的情景比较复杂，使初次接触此类问题学生感到难以下手。但是，由于条件中有“碰撞时无动能损失”，因此可以将碰撞时的盒壁当作“平面镜”。将木块与盒子碰后的运动“反映”到其“像”上，把例3问题转化成一个“具有足够长度的盒子，求木块在盒内的相对位移”问题，而这个问题就是典型的“子弹穿木块”问题，只要运用动量守恒和系统的动能定理：1995年的高考压轴题，也可以渗透镜像对称思想，使解题由难变易。[例4]如图5所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧人的序号都记为N（N=1、2、3……），每人只有一个沙袋。x＞0一侧的每个沙袋质量为m=14k

6、g，x＜0一侧的每个沙袋质量为m′=10kg，一质量为M=48kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向前进，不计轨道阻力，车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速度相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2N倍（N是此人的序号数）。（1）　空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行。（2）　车上最终有大小沙袋共多少个？分析与解：本题要采用递推关系，找出第（N-1）个沙袋扔入之后车子速度VN-1与第N个沙袋扔入之后车子速度vN之间的关系式，再根据车子反向（或停下）条件，确定VN-1与VN系数的关系，从而求出N。由于空车出发后往x

7、正方向运动时，只需扔3个沙袋，车子就会反向，因此一些概括能力不高的学生就采用枚举法：扔一个沙袋求一次车速，最后也可以得出当N=3时，车子就反向的结论。但如果学生只能用枚举法解题，就不能求出向x负方向运动时N′=8的答案。因此，我们引导学生把小车向x正方向运动的关系，从枚举法上升到递推公式，再运用对称的思想方法，求出小车向x负方向运动的情况。具体为：车子向x正方向运动，当扔入第一个沙袋后，车速为v1，则：扔第二个沙袋后，车速为v2，则扔第三个沙袋后，车速为v3，则分析v2与v3关系，递推出一般情况，当第N个沙袋扔入后有：当小车反向行驶时，在坐标原点放一“平面镜”，把

8、小车经x负