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《2017-2018学年高中数学2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法教学案苏教版选修4-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案2．1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法1．二阶矩阵与平面列向量的乘法规则(1)行矩阵与列矩阵的乘法规则：＝；(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：＝.一般地，前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．2．二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义(1)一个列向量左乘一个2×2矩阵M后得到一个新的列向量，如果列向量表示一个点P(x，y)，那么列向量左乘矩阵M后的列向量就对应平面上的一个新的点．(2)对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应唯一的一个点(向量)(x′，y′)，则
2、称T为一个变换，简记为：T：(x，y)→(x′，y′)或T：→.(3)一般地，对于平面向量变换T，如果变换规则为T：→＝，那么根据二阶矩阵与平面列向量的乘法规则可以改写为T：→＝的矩阵形式，反之亦然(a、b、c、d∈R)．(4)由矩阵M确定的变换，通常记为TM，根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在TM的作用下得到一个新的图形．二阶矩阵与平面列向量相乘[例1] 设A＝，Z＝，Y＝，求AZ和AY.[思路点拨] 利用二阶矩阵和平面列向量的乘法公式求解．6苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案[精解详析] AZ＝＝，
3、AY＝＝.若矩阵A＝，列向量为α＝，则Aα＝＝，其结果仍是一个列向量，同时应注意，给出点的坐标可写成列向量的形式．1．计算：(1)；(2)；(3)；(4).解：(1)＝＝；(2)＝＝；(3)＝＝；(4)＝＝.2．给定向量α＝，矩阵A＝，B＝，C＝，D＝，计算Aα，Bα，Cα，Dα.解：根据矩阵与向量的乘法，得Aα＝＝，Bα＝＝，Cα＝＝，Dα＝＝.坐标变换与矩阵乘法的互化[例2] (1)已知变换＝，试将它写成坐标变换的形式；(2)已知变换＝，试将它写成矩阵的乘法形式．[思路点拨] 直接应用二阶矩阵与向量乘积的规定．6苏教版2017-2018学年高中数学选修
4、4-2教学案[精解详析] (1)＝.故它表示的坐标变换为.(2)＝.对于＝，首先由二阶矩阵与平面列向量乘法得＝，再由向量相等，得3．已知，试将它写成二阶矩阵与平面向量相乘的形式．解：因为所以即＝＝.故＝.4．解下列用矩阵表达式表示的方程组．(1)＝；(2)＝.解：(1)由＝，得＝，即解得(2)由＝，得＝，即解得求变换矩阵[例3] 已知变换T：平面上的点P(2，－1)，Q(－1,2)分别变换成点P1(3，－4)，6苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案Q1(0,5)，求变换矩阵A.[思路点拨] 由题意可知，变换矩阵A为二阶矩阵，根据二阶矩阵与列
5、向量的乘法，可列出方程组，解方程组即可求出二阶矩阵中的各元素．[精解详析] 设所求的变换矩阵A＝.依题意可得＝，＝，即解得所以所求的变换矩阵A＝.求变换矩阵的常用方法是待定系数法，要正确利用条件，合理准确计算．5．若点A(1,1)在矩阵M＝对应变换的作用下得到的点为B(－1,1)，求矩阵M.解：由M＝，得＝，所以即所以M＝.6．设矩阵M对应的线性变换把点A(1,2)变成点A′(2,3)，把点B(－1,3)变成点B′(2,1)，那么这个线性变换把点C(－5,10)变成什么？解：设变换矩阵M＝，∴M＝＝＝.M＝＝＝.∴解得∴M＝.6苏教版2017-2018学年
6、高中数学选修4-2教学案M＝＝.∴该线性变换把点C(－5,10)变成了点C′(6,1)．1．给定向量α＝，利用矩阵与向量的乘法，试说明下列矩阵把向量α分别变成了什么向量．(1)；(2)；(3).解：(1)＝.(2)＝.(3)＝.2．求点(x，y)在矩阵对应的变换作用下对应点的坐标．解：＝，所以点(x，y)在矩阵对应的变换作用下对应点的坐标为(x,2y)．3．(1)已知→＝，试将它写成坐标变换的形式；(2)已知→＝，试将它写成矩阵的乘法形式．解：(1)→＝＝.(2)→＝＝.4．计算，并解释计算结果的几何意义．解：＝.几何意义：表示点(3,1)在矩阵对应的变换
7、作用下变成点(5，－1)．5．已知在一个二阶矩阵M对应的变换作用下，点A(1,2)变成了点A′(7,10)，点6苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案B(2,0)变成了点B′(2,4)，求矩阵M.解：设M＝，则＝，＝，即解得所以M＝.6．已知点(x，y)在矩阵对应的变换作用下变为点(－1,1)，试求x，y的值．解：由＝，得解得7．已知矩阵T＝，O为坐标原点，点A(1,0)在矩阵T的变换下得到点P.设b＞0，当△POA的面积为，∠POA＝时，求a，b的值．解：由＝，得点P坐标为(a，b)．又b＞0，所以S△POA＝×1×b＝.所以b＝2.又∠P
8、OA＝，所以a＝2.即a＝2，b＝2.8.已知图形F表示的四边形A
