strongart数学笔记：通向组合交换代数stanley_reisner理论

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1、通向组合交换代数Stanley-Reisner理论(2014-10-1513:53:18)Stanley-Reisner环（又称为面环（facering））把代数拓扑中单纯复形与多项式的单项商环联系起来，可以说是一张通向组合交换代数的入场券，下面就来介绍一下关于它的基本内容。先看Stanley-Reisner环的定义，设k是作为系数的交换环，给定任何一个顶点集为{v_1，…，v_n}的单纯复形Δ，Δ关于k的Stanley-Reisner环是指齐次k-代数：k[Δ]=k[x_1，…，x_n]/I_Δ其中I_Δ是由所有使得不属于Δ的单形（

2、v_iv_j…v_k）所对应的单项式x_ix_j…x_k生成的理想，也称为Stanley-Reisner理想。即I_Δ={m；m∉Δ}这个定义的要点就是各顶点v_i对应原子单项式x_i，若干顶点构成的单形（v_iv_j…v_k）对应原子单项式的积x_ix_j…x_k.请注意，这里各原子单项式的下标都是不同的。换句话说，生成Stanley-Reisner理想的各单项式都是平方自由的，即不含任何平方项因子。反之，给定平方自由的单项理想I，我们也可以得到它的Stanley-Reisner环复形Δ_I={m；m∉I}可以证明它们满足这样的自反

3、关系：I_(Δ_I)=I，Δ_(I_Δ)=Δ对于平方自由的单项理想m，n，有m整除niff对应的单纯复形m∈n，由此说明它们的自然序关系是一致的。对于Stanley-Reisner理想I_Δ，我们有如下公式：I_Δ=∩B_F其中F取遍Δ的所有极大面（facet），B_F是指由各不属于F的v_i对应的X_i生成的理想。这个结论实际上就是Stanley-Reisner理想的准素分解，对于平方自由的情形而言，被分解项可以取为极小素理想，后者正好是与各极大面相对应的。由此我们的可以得到Stanley-Reisner环的维数计算公式：dimk[

4、Δ]=dimΔ+1此外，我们还有Stanley-Reisner环的深度计算公式：depthk[Δ]=max{r；Δ的r维骨架是Cohen-Macaulay的}+1这个公式涉及下文中的Cohen-Macaulay复形，并不适合直接用来计算。对于深度的一个简单结论是：若Δ是不连通的单纯复形，那么depthk[Δ]=1.Stanley-Reisner理论的关键是单纯复形的几何性质与对应Stanley-Reisner环的代数性质之间的转换。先看一个简单的数量关系，（d-1）维单纯复形的f-向量就是它的各维面的个数f=（f_0，f_1，…，f_

5、（d-1）），f_0就是其顶点数，f_1就是边的个数，…，f_d就是其极大面的个数。Δ的Euler数定义为e（Δ）=f_0-f_1+f_2-…+（-1）^(d-1)f_(d-1)由此可以计算k[Δ]的（Z^n分次的）Hilbert多项式，有H_k[Δ]（t）=Σ（F∈Δ）Σ（a∈N^n,supp（a）=F）t^a=Σ（F∈Δ）Π（v_i∈F）t_i/（1-t_i）=Σ（i=-1，…，d-1）f_it^（i+1）/（1-t）^（i+1）对于Stanley-Reisner环，我们有所谓的h-向量，它是通过其Hilbert多项式定义如下：H

6、_k[Δ]（t）=h_0+h_1t+…/（1-t）^d比较上述两式，可以得到f-向量与h-向量之间的关系：Σh_it^i=Σ（i=0，…，d）f_(i-1)t^i（1-t）^(d-i)得到h_j=Σ（i=0，…，j）（-1）^(j-i)（d-i，j-i）f_(i-1)且f_(j-1)=Σ（i=0，…，j）（d-i，j-i）h_i其中（m，n）表示m个元素中取n个元素的组合数。特别，我们可以得到几个容易计算的公式：h_0=1，h_1=f_0-d，h_d=（-1）^(d-1)E（Δ）且Σ（i=0，…,d）h_i=f_(d-1)其中E（Δ）

7、=e（Δ）-1是Δ的约化Euler数，也可以视为Δ的约化上同调的交错和。我们还需要Stanley-Reisner环的局部上同调，先引入一些几何概念。设Δ是单纯复形，F是其顶点子集，F的星（star）定义为：st_Δ（F）={G∈Δ；F∪G∈Δ}而F的连接（link）定义为：lk_Δ（F）={G∈Δ；F∪G∈Δ，F∩G=∅}一般作为整个单纯复形的下标Δ是可以省略的。设Δ是单纯复形，k是域，则局部上同调模H^i(k[Δ])的a分量是：H^i(k[Δ])_a=H~_(i-

8、G_a

9、-1)（lk_(H_a)（G_a；k））进而其（Z^n分次的

10、）Hilbert多项式为：H_H^i(k[Δ])（f）=Σ(F∈Δ)dimH~_(i-

11、F

12、-1)（lkF；k）∏(v_j∈F)（t_j）^（-1）/（1-（t_j）^（-1））上述公式就是关于Stanley-Reisn