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1、浅谈Galois上同调理论及其应用Galois上同调是有限群上同调理论的推广，与二次型理论，中心单代数理论、代数群等数学分支都有着广泛的联系，下面我就来简单介绍一下它的基本理论及其应用概况。先从投射有限群（profinitegroup）讲起，它实际上就是有限群的投射极限，等价于紧完全不连通的拓扑群。对于交换投射有限群，可以通过Poincare对偶Hom（-，Q/Z)对应于挠Abel群。为什么要考虑投射有限群呢？那是因为Galois群都是投射有限群。具体来说，假若Ω/k是Galois扩张，那么其Gal
2、ois群同构于Ω/k的所有有限子扩张L/k的Galois群的投射极限，这里的同构是建立在拓扑群的意义上的。实际上，我们已经有了抽象群的上同调，那么投射有限群与它有什么差别呢？主要就是加上了拓扑概念，对应的G-模A是要求连续，因此有时也被称为连续上同调。接下来来我们自然可以问，是否存在一个投射有限群，它的上同调与它作为抽象群的上同调是不同的？这对于有限群是成立的，这是因为有限群的拓扑是离散的；对于零阶上同调群，两者也是相同的，它们都等于群作用的不动点集。但假若我们取Z^为Z生成的投射有限群，它平凡的作
3、用在Q上，那么对于连续上同调H^1(Z^,Q)=limH^1(Z/n,Q)=0，但对于一般上同调H^1(Z,Q）=Hom(Z^,Q)≠0，这是因为由于Q的可除性，我们可以扩张Hom(Z,Q)的非零元。投射有限群的上同调的代数构造与抽象群的上同调完全类似，这里我就不再重复了。下面看相应的上同调序列，假若我们已经有投射有限群G-模的短正合列1→A→B→C→1，我们可以期盼这样的长正合列：1→H^0(G,A)→H^0(G,B)→H^0(G,C)→H^1(G,A)→H^1(G,B)→H^1(G,C)→H^2
4、(G,A)→…其具体结论是逐步递进的：1）A是B的普通子群时，序列可以连到H^1(G,B)2）A是B的正规子群时，序列可以连到H^1(G,C）3）A是B的中心子群时，序列可以连到H^2(G,A)同时有两个连通同态也很值得注意：记上述正合列中f：A→B，1）δ_0：H^0(G,C)→H^1(G,A).对任何c∈C^G，有拉回元素b∈B^G，定义δ_0（c）=[α},使得f（α_σ）=b^(-1)σ·b.2）δ_1：H^1(G,C)→H^2(G,A).对任何[γ]∈H^1(G,C)，各γ_σ均有拉回元素
5、β_σ，定义δ_1([γ])=[α},使得f（α_σ,τ）=β_σ（σ·β_τ)(β_σ,τ）^(-1).这样的符号看似比较杂乱，但实际上就是群元素σ作用后带来的“交换障碍”，同时一阶连续上同调H^1(G,A)还可以被解释为A上的G-挠子（torsor）或主齐性空间，即带与G-作用一致的单可迁右作用的G-集。接下来我们要介绍Galois上同调，完整的解释需要函子表示与仿射群概型的思想，这里自然是没办法详细介绍的，只能先直观的看成H^n(G_(K)，F（K）），有时也简记为H^n(K/k,F)，这里G
6、_(K)就是K在基域k上的Galois群；F是k上的代数范畴到群范畴上的函子，它常常是以仿射群概型的形式出现，其作用自然给定为：σ·x=F(σ)(x)，最后把这个整体解释为关于投射有限群的上同调。特别的，我们更关注K=k_s(基域k的可分闭包，此时的上同调就直接记为H^n(k,F)。下面看几个最常见的情形：1）H^q(K/k,G_a)=0,若q≥1.2）H^1(K/k,G_m)=0，这是Hilbert90的推论，对任何可分k-代数A，H^1(K,GL_1(A))=13）H^1(k,μ_n）=k*/k
7、*^n，这可以由正合列1→μ_n(k_s)→k_s×→k_s×→1的上同调与2）导出。4）H^2(k,G_m)=Br(k)，这可以由正合列1→L*→GL_n（L)→PGL_n(L)→1的δ_1给出，详见参考书[2].5)H^2(k,μ_n)=Br_n(k)，这可以由正合列1→μ_n(k_s)→k_s×→k_s×→1的上同调与4）导出。H^1常常与代数分类相关，详细的说明需要用到Galois下降理论，这里只从容易记忆代数版开始介绍。对域扩张K/k与Galois扩张Ω/K，对任何k-代数A，H^1(Ω/
8、K,Aut_alg(A)(Ω))与Ω上同构于A的K-代数同构类一一对应。它的具体实例是：1）中心单代数：CSA_n=H^1(-,PGL_n)2）二次型：Quad_n=H^1(-,O(q))3)平展代数：Et_n=H^1(-,S_n)4)Galois代数：G-Gal=H^1(-,G)，其中G是有限抽象群。这样的Galois上同调有一些比较重要的应用，我们先来看二次型理论。对此可以归结为对任何二次型q，有正合列：1→μ_2(k_s)→Pin(q)(k_s)→O(q)(k_
