strongart数学笔记：浅谈quiver及其path algebra

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1、浅谈quiver及其pathalgebra最近读了一点代数表示论，发现不少矩阵环的例子恰好可以通过quiver(箭图）的pathalgebra（路代数）来解释，与之对比以前那个群表示论简直是弱爆了！下面就简单给大家介绍一下quiver及其pathalgebra，基本上不涉及表示论的内容。所谓quiver，实际上就是图论中的有向图，主要是靠箭头来说话的。第一眼看上去，它和代数中的category（范畴）颇为相似。但这两者还是有区别的，下面我来具体分析一下。1）quiver中的点与箭头都是集合，而且最主要的情况都是有限个点与有限个箭头，这被称为有限quiver；而范畴中的点与态射则更

2、加广泛，一般都不构成集合。2）quiver中并不是定义箭头的复合运算，只有在pathalgebra（路代数）中才有道路积的定义；但category中就自带了复合运算，而且还把结合律作为运算的公理。3）在pathalgebra中运算是分阶的，常值道路是零阶的，相邻点的箭头是一阶的，所有一阶箭头生成所谓的箭头理想，而一阶与n阶箭头的复合则是（n+1)阶的；而在一般的category中并没有这个区分，所有的态射都是同一层次的对象。其实，quiver只是一个从图论中演变出来的具体概念；而category则更具有公理化意义，是很多代数系统的共通结构的一种概括。有趣的是，在category中

3、也可以仿照pathalgebra定义categoryalgebra，建立更统一的表示论，把群表示论与关于quiver的结合代数表示论都收为它的特例。quiver与pathalgebra的关系可以通过下面的例子进行展示：对于acyclic（零环）的情形，quiverQ的pathalgebraKQ是矩阵，假若Q的i点到j点有n条道路，那么其KQ的第（i，j）项就是K^n；同时其对角元为K，这是由默认的常值道路决定的。而对于有环的情形，则对应于相应的多项式环（见下图）。实际上，quiverQ与其pathalgebraKQ有着密切的联系，其中基本的结论是：假若Q是有限连通零环quiver

4、，则其pathalgebraKQ是含单位元的基本连通有限维结合代数，其根是箭头理想，而所有点的常值道路集构成其本原正交幂等元的完全集。下面我们来做具体的分析：1）KQ有单位元iffQ只有有限多个顶点。因为1只能表示为各点常值道路的有限和，这些常值道路恰好就是本原正交幂等元的完全集。2）KQ是局部有限的iffQ是零环的。因为循环道路x可以构成无限基{x，x^2,x^3,…}3）KQ是有限维的iffQ是有限零环的iffKQ是Artin的。这是对2）中无限集的精确化，假若有循环道路x，那么（x）≥（x^2）≥（x^3）≥…就是它的无限理想降链。4）KQ是Noether的iffQ的循环道

5、路的孤立的。实际上，KQ是右（或左）Noether的iffQ内的循环道路不含出口（或入口）。形象的说，含出口的循环道路就是一个“9型道路”，在循环道路上的某顶点还有其他不在循环道路上的顶点与之连接。假若把循环的部分记作x，某个邻接道路记作a的话，那么我们有右理想的无限升链(xa)≤（xa，x^2a）≤（xa，x^2a，x^3a）≤….对于不含入口的情形，就是没有相应的“6型道路”（见下图）。请读者思考：为什么在Artin的情形下是不分左右的？5）KQ是不可分解的iffQ是连通的iffKQ是素的。左边对应矩阵的直和分解，但这样的分解不一定非要排列成直和的整齐形式，因此我们有右边更强

6、的结论。由3）与5）可以反作用于环论，假若一个代数A是某个quiver的pathalgebra，那么A是有限维的iffA是Artin的，A是不可分解的iffA是素的。对于3）的情形，结论似乎有点平淡，因为由Hopkins–Levitzkitheorem就可得到Artin环也是Noether的，因此一定是有限维的。而5）的情形则稍微有点意思，素环一定是不可分解的，可即便是在交换环中，不可分解环Z/4就不是素的，同时要得到它们等同的条件也不是容易的事情，但借助quiver与其pathalgebra的等价性质，我们至少可以断言：对于各项是域K的幂的矩阵环，它的不可分解性与素性是等价的。

7、本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者Strongart，欢迎访问Strongart的新浪博客。