strongart数学笔记：交换代数授课心得2

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1、代数理想运算中的反例准备交换代数的讲座的时候，发现参考书上一般就只有正面理论，反例之类就得靠自己来补充。三流的老师照本宣科根本不会想到这一点的，二流的老师会从其他地方查一些反例塞进来，只有像Strongart这样一流的Professor才会自己来构造最自然的反例，因此讲起课来也算是行云流水了。记得第一次理想的运算时，总觉得有一种不协调的感觉，特别两个理想的乘法被定义为积的有限和。为什么不直接定义成积呢？那是因为要保证乘法的结果也是理想。假若I与J是环R的理想，简单一想：R(IJ)C(RI)JCIJ，难

2、道IJ还不是理想吗？关键在于除了主要的积条件之外，还有一个和条件需要满足，也就是说必须使得i1j1+i2j2=i3j3，这里i1、i2、i3∈I,j1、j2、j3∈J.下面我们开始反例的尝试，为了I与J尽量一般化，取R=k[x,y]为域上的多项式环，I=(x),J=(y)，结果却发现i1j1、i2j2均包含因子xy，的确能表示成i3j3的形式。怎么回事呢？回头一看，i1、j1、i2、j2涉及四个字母，而R只是一个二元多项式，舞台太小了耍不开（和本人目前的处境相似啊），那就干脆充分一般化，考虑四元多项式

3、环R=k[x,y,z,w],令I=(x,y),J=(z,w)，这下xz-yw中每一个都是硬邦邦的未定元，显然不能表示成i3j3的形式！看来运算到了高层，反倒可能被初级的加法拖住，记得当年我就一直在纠结为什么log(a+b)会算不动，后来发现算不动的情形在数学中比比皆是，实在需要的话还是用级数来暴力破解吧！尽管是已经找到了反例，全盘抛弃似乎不是太明智，我们还是想要尽量挽救一下。在点集拓扑中，我们经常考虑一个包含某集合的最小闭集，称为它的闭包。这里也可以如法炮制出一个包含形如ij，i∈I，j∈J的最小理想

4、，不妨也把它说成是理想包，但官方术语似乎是由形如ij，i∈I，j∈J的元素生成的理想。如果只是定义为积的两项之和，那么再求和的话又会变成四项，只要考虑充分多未定元的多项式环，总是能够找出相应的反例。因此，最后只能借助Hilbert'sHotel来容纳这样的无限结构，由此构造一种无限背景中的有限和，定义IJ={i1j1+…+injn:i1,…,in∈I,j1,…,jn∈J,n∈N}，它是所有积的可能有限和的并集。事实上，这种无限背景下的有限和是为避免出现真正的无限而又想要充分扩展有限的产物，无限多个Ab

5、el群的直和就是一个典型例子，更为抽象的例子是光滑流形上的单位分解。类似考虑√I，关键就在于x^p∈I,y^q∈I→(x+y)^(p+q)∈I，这里是指数也有一种无穷扩展的趋势，因此只能把√I定义为所有可能次方根的并。除了代数算子之外，理想的集合算子也有类似情况，比如我们可以说明两个理想的并I∪J不是理想，但是由于集合的并在数学中已经根深蒂固，因此也就不再专门定义理想的并了，实在要说的话，那就说是由集合I、J生成的理想。至于这两个反例，请读者能够自行构造，实在找不出来的话，就等着看我的教学视频吧。半单

6、环上的模特征小结记得刚开始学模的时候，总觉得其中有一种不协调感，后来知道是主角与配角之间的关系有点错乱，作为系数的环似乎喧宾夺主的成了主角，但是这也使得环与模的关系非常密切。下面我就结合最近学到的东西，以半单环上的模特征为例作一个小结。先看这样的一个命题：ArightringRisvon-NeumannregularringiffeveryrightR-moduleisdivisible.其实直观上也容易理解，类比于semisimplering中anyrightideal均可作为直和加项，在von-N

7、eumannregularring中的principalrightideal是直和加项，而divisiblemodule则等价于principallyinjective，后者是指BaerCriterion中的anyrightideal换成anyprincipalrightideal，可以视为我们熟知的结论injective→divisible的本质解释。我们还可以从另一个角度看这个问题，初级教科书中一般只在domain上介绍divisiblemodule，其实可以推广到一般环上如下：AR-module

8、Misdivisibleifforanyu∈Manda∈R,(foranyx∈R,ax=0→ux=0)→u∈Ma.我们把它推广到相应的族，就得到fullydivisible的概念，也就是说：AR-moduleMisfullydivisibleifforany{u_i}CMand{a_i}CR,(forany{x_i}CR,Σa_ix_i=0→Σu_ix_i=0)→u_i=va_i，v∈M.可以证明，fullydivisible与injective也是等价